हीट विधि (क्रेन एट अल) हम यू कैसे उठाते हैं?
दूरी की गणना के लिए ऊष्मा विधि एक बहुत ही रोचक पेपर है:
https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/HeatMethod/paperCACM.pdf
कागज के पीछे विचार यह है कि, गर्मी किसी वस्तु की सतह पर अनिवार्य रूप से फैशन जैसे भू-स्थान में घूमती है। और इसलिए गर्मी के लिए एक गर्म स्थान से किसी भी बिंदु पर एक सतह पर यात्रा करने के लिए समय लगता है, यह पूरी तरह से भू-दूरी के साथ सहसंबद्ध है।
कागज पहले सामान्य, विश्लेषणात्मक मामले पर विचार करता है और फिर विवेकाधीन दृष्टिकोण का सुझाव देता है। गर्मी प्रवाह समारोह के बारे में मैं जो कुछ बहुत उलझन में हूं वह उल्लेख है$u$कागज के पार। उदाहरण के लिए इस समीकरण पर विचार करें:
यह असतत लैप्लसियन ऑपरेटर पर लागू होता है $u$ या $\Delta u$। कागज में कई अन्य खंड हैं जो उल्लेख करते हैं$u$। मेरे पढ़ने से,$u$ एक उपयुक्त कार्य लगता है जो कई गुना की सतह पर गर्मी प्रवाह का अनुमान लगाता है?
मैं वास्तव में फॉर्म का एक समीकरण नहीं देखता हूं $u = \text{expression}$ न तो मुझे इसके गुणों का वर्णन दिखाई देता है और न ही किसी अच्छे के लिए सुझाव $u$समारोह। क्या है$u$? जहाँ किया$u$से आते हैं? जहाँ किया$u$जाओ? जहाँ किया$u$से आते हैं? कोटन, आई, ओ?
जवाब
मेरे पढ़ने से, यू लगता है कि एक उपयुक्त कार्य है जो कई गुना की सतह पर गर्मी प्रवाह का अनुमान लगाता है?
$u$वह फ़ंक्शन है जो बताता है कि आपकी मात्रा एक निश्चित क्षेत्र में कैसे व्यवहार करती है / विकसित होती है। कागज में, मात्रा तापमान या गर्मी प्रवाह है, मुझे लगता है। हालाँकि, अधिकांश समय इसका कोई विश्लेषणात्मक समाधान / सूत्र नहीं होता है$u$। यह वह जगह है जहाँ Finite Elements (FEM) जैसी विधियाँ चलन में हैं। अपने क्षेत्र का विवेक करके, आप अपने कार्य को अनुमानित कर सकते हैं$u$।
आपके मामले में, आप अपने जाल का उपयोग करेंगे, जो पहले से ही आपकी सतह का विवेक है। आपके तत्व त्रिकोण हैं और आपको यह परिभाषित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक त्रिकोण के अंदर नोडल मात्रा कैसे प्रक्षेपित की जाती है। --- यहाँ, रैखिक प्रक्षेप शायद जाने का रास्ता है। अन्यथा, आपको अपनी ज्यामिति को हटाने या उच्च-क्रम सन्निकटन के लिए अतिरिक्त नोड्स पेश करने की आवश्यकता है।
फिर आपको प्रत्येक नोड / वर्टेक्स को एक प्रारंभिक मूल्य प्रदान करना होगा $u_0$गिलगामेक के उत्तर में लिखा गया है। बाद में, आप अपनी परिमित तत्व प्रणाली का निर्माण और समाधान करते हैं और इसका नोडल वितरण प्राप्त करते हैं$u$जो वास्तव में आपके समीकरण या समीकरणों की प्रणाली को हल करता है। आपकी जाली जितनी महीन होगी, समाधान उतना ही बेहतर होगा। उच्च-क्रम वाले प्रक्षेप सटीकता के साथ भी मदद करेंगे।
इसलिए $u$या इसके नोडल मूल्य वे हैं जो आप वास्तव में देख रहे हैं जैसा कि lightxbulb ने अपनी टिप्पणी में कहा है। यह आपकी अज्ञात मात्रा है।
यदि यह मदद नहीं करता है, तो आप परिमित तत्व विधि के बारे में कुछ साहित्य पढ़ना चाह सकते हैं। यह नहीं बता सकता कि निम्नलिखित लिंक कितने उपयोगी हैं, लेकिन एक छोटी सी झलक दिखती है। आप देखेंगे, कि वे उपयोग करते हैं$u$सभी जगह। इसलिए मुझे उम्मीद है कि उनमें से एक आपकी मदद करेगा:
- परिमित तत्व विधि का एक सौम्य परिचय
- PE281 परिमित तत्व विधि कोर्स नोट्स
- परिमित तत्व विधि का परिचय
- परिमित तत्व विश्लेषण हाथ से
मेरे पास पिछले लिंक के समान अच्छे ऑनलाइन ट्यूटोरियल का लिंक भी था जो मैंने प्रदान किया जिससे मुझे मूल सिद्धांतों को समझने में बहुत मदद मिली। यदि मुझे लिंक मिल जाए, तो मैं इसे अपने उत्तर में जोड़ दूंगा।
वह लिंक मिला जिसका मैं जिक्र कर रहा था। दुर्भाग्य से, यह जर्मन में है:
- एफईएम हैंड्रिचंग
हां, मैदान $u$इस मामले में सतह पर एक अनुमानित गर्मी प्रसार है। यह कोने के "प्रारंभिक सेट" से शुरू करके पाया जाता है; ये प्रसार का स्रोत होंगे, और दूरी क्षेत्र में स्थानीय मिनीमा के रूप में समाप्त होंगे। एक प्रारंभिक वितरण$u_0$प्रारंभिक सेट पर मान 1 के साथ और 0 हर जगह स्थापित किया गया है। (यह आपके द्वारा लिंक किए गए कागज के पृष्ठ 92 पर वर्णित है, तुरंत एल्गोरिथम 1 के तहत)
एल्गोरिथ्म का पहला चरण रैखिक समीकरण को हल करके गर्मी समीकरण का एक कदम चलाना है $(I - t\nabla)u = u_0$(पेपर में समीकरण 3)। फील्ड$u$ आपको वहां गर्मी का फैलाव होता है जिसे आप दूरी क्षेत्र प्राप्त करने के लिए आगे की प्रक्रिया करते हैं।