होने देना$\mathbf a$तथा$\mathbf b$3डी वैक्टर बनें। लगता है$3\times3$आव्यूह$\mathbf R$ऐसा है कि$\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.
हाय जैसा कि शीर्षक कहता है कि मैं इसे खोजने की कोशिश कर रहा हूं।
होने देना$\mathbf a$तथा$\mathbf b$3डी वैक्टर बनें। लगता है$3\times3$आव्यूह$\mathbf R$ऐसा है कि$\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.
मेरे अभ्यास के अनुसार उत्तर है
$$ R = \frac{1}{b^2} \begin{bmatrix} b^2_y+b^2_z & -b_xb_y & -b_xb_z \\ -b_xb_y & b^2_x+b^2_z & -b_yb_z \\ -b_xb_z & -b_yb_z & b^2_x+b^2_y \\ \end{bmatrix} $$
मैं इस समाधान तक नहीं पहुंच पाया हूं और मैं यहां तक पहुंचने में कामयाब रहा हूं
$$ a_{\bot b} = a - a_{||b} = a - \frac{a\cdot b}{b^2}b $$और मैं स्थानापन्न कर सकता हूँ$ a_{||b} $मैट्रिक्स उत्पाद के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के लिए$$ a_{||b} = \frac{1}{b^2}bb^{\mathrm T}a $$और यह एक बाहरी उत्पाद है इसलिए यह बन जाता है$$a_{\bot b} = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix}$$
इससे मैं प्राप्त कर सकता हूं$$ Ra = a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix} $$यह तब तक है जब तक मैं प्राप्त करने में सक्षम था और मुझे यकीन नहीं है कि अंतिम समीकरण को पहले प्राप्त करने के लिए आवश्यक कदम हैं।
किसी अंतर्दृष्टि के लिए धन्यवाद जो कोई प्रदान कर सकता है।
जवाब
अंतिम कुछ चरण होंगे$$ \begin{align*} Ra &= a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}a\\ &= \frac{1}{b^2}\Bigg(b^2I - \begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ \end{align*}$$नोटिस जो$b^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$. इसलिए$$\begin{align*} Ra &= \frac{1}{b^2}\Bigg(\begin{bmatrix}b_x^2 + b_y^2 + b_z^2& 0 & 0\\ 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 & 0\\ 0 & 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ &= \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}a\end{align*} $$अत$$ R = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}$$