इस द्विघात संकल्प को कैसे हल करें? $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$ [डुप्लिकेट]

Nov 27 2020

दिया हुआ $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$

इस द्विघात संकल्प को कैसे हल करें? सभी संकेत स्वागत योग्य हैं। मैंने वर्ग पूरा किया, इसलिए मैंने प्राप्त किया$27(x+\frac{10}{27})^2+\frac{845}{27} \equiv 0 \pmod{23} $ मुझे कम से कम अवशेष प्रणाली में 2 समाधान प्राप्त करने की आवश्यकता है जो सही उत्तर हैं: $w\equiv 6 \pmod{23}$ तथा $w \equiv 12 \pmod{23}$

जवाब

4 ParclyTaxel Nov 27 2020 at 18:22

मैनुअल गणना की आसानी के लिए हम समीकरण को फिर से लिखते हैं $$4w^2-3w+12\equiv0\bmod23$$ अग्रणी गुणांक से विभाजित करें, अर्थात द्वारा गुणा करें $4^{-1}=6$: $$w^2+5w+3\equiv0\bmod23$$ अब द्विघात सूत्र लागू करें: $$w\equiv\frac{-5\pm\sqrt{13}}2\bmod23$$ हमें वर्गमूल की जड़ें निकालने की जरूरत है $13$ में $\mathbb Z_{23}$। $6$ आसानी से एक रूट के रूप में सत्यापित किया जाता है, इसलिए $-6$ अन्य है: $$w\equiv\frac{-5\pm6}2\equiv9\pm3\bmod23$$

3 NeatMath Nov 27 2020 at 18:23

संकेत:

$$\pmod{23}: 4w^2-3w+12\equiv 0 \implies 8w^2-6w+1\equiv 0 \implies (2w-1)(4w-1)\equiv 0. $$

अपडेट करें कि मैं 2 से गुणा क्यों करूं$4w^2-3w+12$, भिन्नों की तुलना में पूरे संख्याओं के साथ काम करना आसान है, इसलिए प्रत्येक गुणांक पूर्णांक को 16 से गुणा करते हुए वर्ग को पूरा करने के लिए:

$$16(4w^2-3w+12)=64w^2-48w+192=(8w-3)^2+183\equiv (8w-3)^2-1 = (8w-2)(8w-4)=8(4w-1)(2w-1) \pmod{23}$$

और अब तुम क्यों देखते हो।

अपडेट 2: मुझे पहले क्वाड्रेटिक मोनिक बनाने का पार्सली टैक्सल का तरीका पसंद है:

$$w^2+5w+3\equiv0\pmod{23}$$

उसके बाद इसे थोड़ा तेज किया जा सकता है:

$$w^2-18w+3\equiv 0 \implies (w-9)^2 = 78\equiv 9 =3^2 \implies (w-6)(w-12) \equiv 0 \pmod{23}$$

1 md2perpe Nov 27 2020 at 19:05

जबसे $27 \equiv 4$ हम समीकरण लिख सकते हैं $4w^2 + 20w + 35 \equiv 0.$ वर्ग पूरा करता है $(2w+5)^2 + 10 \equiv 0,$ अर्थात $(2w+5)^2 \equiv -10.$ परंतु $-10 \equiv -10+2\cdot 23=36=6^2,$ इसलिए $2w+5\equiv\pm 6,$ अर्थात $2w=-5\pm 6.$