जेनरेशनफैक्टोलॉजी व्यायाम 1 ए का समाधान।

Question

सवाल यह है की:

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक क्रम में साधारण, बंद रूप में साधारण बिजली श्रृंखला उत्पन्न करने वाले कार्यों का पता लगाएं। प्रत्येक मामले में अनुक्रम सभी के लिए परिभाषित किया गया है$n\geq0$। (ए)$a_n=n$

यह फंक्शन है $A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$, जो मैं के रूप में फिर से लिखना: $A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$

प्रत्येक शब्द एक ज्यामितीय श्रृंखला है, और इसलिए मैंने इसे लिखा है

$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$

इसलिए, मेरा जवाब होगा $A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$। हालांकि, पुस्तक के पीछे की उत्तर कुंजी कहती है कि उत्तर "$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$"। जबकि मेरा जेनरेटिंग फंक्शन उत्तर कुंजी के आरएचएस जैसा दिखता है, मुझे समझ नहीं आ रहा है कि एलएचएस का क्या मतलब है। क्या मैं यहां गायब हूं?

Answer 1

द $LHS$एक ही जनरेटिंग फंक्शन पाने का एक और तरीका है जो आपको मिला। यह कहता है: का व्युत्पन्न लो$1/(1-x)$ और फिर से गुणा करें $x$।