कैसे हल करें $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}$ L'Hopital के बिना?

Jan 05 2021

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}$
$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}-\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}$ लेकिन क्योंकि यह सीमा अभी भी प्रकार है $\frac{1}{\infty-\infty}$ मैंने ऐसा करने की कोशिश की:
$\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}+\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}{(n^3+n+1)^2-(n^2-n+2)^3} = \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}+\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}{3n^5-7n^4+15n^3-17n^2+14n-7}$

मैं यहां पूरी तरह से फंस गया हूं। मैं अंश को विभाजित करूंगा$3n^5$ और फिर समाधान है $0$। सही उत्तर नहीं। क्या मैं कुछ भुल गया?

जवाब

Khosrotash Jan 05 2021 at 16:04

तेजी से समाधान, एक और विचार के रूप में$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+0n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{(n+0)^3-0+0n^2+n+1}-\sqrt{(n-\frac12)^2-\frac14+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n-(n-\frac12)}=\\2$$

टिप्पणी: $$n^3+an^2+bn+c=\\(n+\frac a3)^3-(3n^2.\frac a3+3n(\frac a3)^2+(\frac a3)^3)+bn+c\\(n\to \infty) \implies n^3+an^2+bn+c\sim (n+\frac a3)^3 $$ तोह फिर $$n^3+n+1=(n+0)^3-0^3+n+1$$ के लिए भी $n^2+an+b=(n+\frac a2)^2-(\frac a2)^2+c$

1 DieterKaesbauer Jan 05 2021 at 17:04

तर्कसंगत घातांक के लिए द्विपद प्रमेय:

(1 + n) ^ (1/3) = 1 + n / 3 + ... (1 + n) ^ (1/2) = 1 + n / 2 + ...

s1 = (n ^ 3 + n - 1) ^ (1/3) = [n ^ 3 (1+ 1 / n ^ 2 + ...)] ^ (1/3) = n (1+ 1 /) 3 n ^ 2) ...) s2 = (n ^ 2 -n + 2) ^ (1/2) = [n ^ 2 (1- 1 / n ^ 2 + ...)] ^ (1/2 ) = n (1 -1 / (2n) ...) s1-s2 = 1 / (3n) + 1/2 ...

lim 1 / (s1-s2) = 2

n-> अनंत

ParamanandSingh Jan 06 2021 at 15:17

हमेशा बीजीय गणना को इस तरीके से सरल बनाने का प्रयास करें जो टाइपिंग प्रयास और दृश्य अव्यवस्था को कम करता है।

स्पष्ट रूप से हम ले सकते हैं $n$ हर में दोनों शब्दों से आम है और इसलिए हर के रूप में लिखा जा सकता है $n(a-b) $ दोनों कहाँ $a, b$ प्रवृत्त $1$। आगे हम देख सकते हैं$a^3,b^2$ कट्टरपंथी मुक्त हैं और इसलिए हमारे पास है $$n(a-b) =n(a-1-(b-1))=n\left((a^3-1)\cdot\frac{a-1}{a^3-1}-(b^2-1)\cdot\frac{b-1}{b^2-1}\right)\tag{1}$$ बस ध्यान दें $$n(a^3-1)=n\left(\frac{1}{n^2}+\frac {1}{n^3}\right)\to 0$$ तथा $$n(b^2-1)=n\left(-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)\to - 1$$ यह अब समीकरण से अनुसरण करता है $(1)$ वह हर $n(a-b) $ आदत है $$0\cdot\frac{1}{3}-(-1)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ और सीमा के तहत अभिव्यक्ति इस प्रकार है $2$

J.G. Jan 06 2021 at 15:23

बड़े के लिए $n$, $(1+n^{-2}+n^{-3})^{1/3}\in 1+\tfrac13n^{-2}+O(n^{-2})\subseteq 1+o(n^{-1})$, तोह फिर$$\begin{align}\frac{n^{-1}}{(1+n^{-2}+n^{-3})^{1/3}-(1-n^{-1}+2n^{-2})^{1/2}}&\in\frac{n^{-1}}{1+o(n^{-1})-1+\tfrac12n^{-1}+o(n^{-1})}\\&=\frac{n^{-1}}{\tfrac12n^{-1}+o(n^{-1})}\\&\stackrel{n\to\infty}{\sim}2.\end{align}$$