कैसे हल करें $x^{T}Ax = 0$?

Question

मैट्रिक्स दिया $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, मैं कैसे हल करूं $x^{T}Ax = 0$ के लिये $x \in \mathbb{R}^n$?

जाहिर है, एक शून्य वेक्टर हमेशा एक समाधान होता है और यदि $A$सकारात्मक या नकारात्मक निश्चित है इसका कोई अन्य समाधान नहीं है। हालांकि, मैं मामलों में दिलचस्पी रखता हूं, जहां$A$नहीं है। बस कुछ उदाहरणों की साजिश करने से, मेरा मानना ​​है कि दो आयामी मामले में समाधान आमतौर पर एक या दो लाइनों का वर्णन करना चाहिए, लेकिन एक विश्लेषणात्मक समाधान मुझे परेशान करता है।

प्रश्न फार्म के द्विघात समीकरणों को हल करना$x'(A-B)x = 0$लगता है निकट से संबंधित है, लेकिन यह केवल पूछता है, अगर कोई समाधान है, न कि यह कैसा दिखता है और जटिल मामले के लिए पूछ रहा है। और, सच कहा जाए, तो मैं वैसे भी इसका जवाब नहीं समझता।

Answer 1

सुझाव: इसका प्रमाण $x^T A x = x^T A_+ x$ सबके लिए $x$, कहां है $A_+ = \frac{1}{2}(A+A^T)$ का सममित भाग है $A$। फिर आप वर्णक्रमीय प्रमेय लागू कर सकते हैं।