कम घनत्व वाले ऑपरेटर को खोजने के लिए मैं दूसरी कतार का पता कैसे लगाऊं? [डुप्लिकेट]
मैं पहले क्वैबिट के लिए कम घनत्व वाले ऑपरेटर को खोजने के लिए दूसरी कतार का पता लगाने के लिए एक अभ्यास कर रहा हूं:
$tr_2|11\rangle\langle00| = |1\rangle\langle0|\langle0|1\rangle$
मैं सोच रहा हूं कि क्या मैं पहली क्वेट के लिए ट्रेस करूं, क्या मेरे पास होना चाहिए:
$tr_1|11\rangle\langle00| = |1\rangle\langle0|\langle0|1\rangle$ या $tr_1|11\rangle\langle00| = \langle0|1\rangle|1\rangle\langle0|$ ?
नीलसन और चुआंग पाठ्यपुस्तक में, हमारे पास है $tr(|b_1\rangle\langle b_2|)=\langle b_2|b_1\rangle$। क्या मैं कह सकता हूँ कि बाएँ और दाएँ हाथ की तरफ मैट्रिक्स में एक तत्व का पता लगाने के सिर्फ दो तरीके हैं? धन्यवाद!!
जवाब
मान लीजिए आपके पास राज्य है $|\psi\rangle = \dfrac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ फिर इसका घनत्व मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है
$$ \rho = |\psi \rangle \langle \psi | = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
अब, अगर हम सबसिस्टम का पता लगाना चाहते हैं$B$ सिस्टम के घनत्व ऑपरेटर को खोजने के लिए $A$ इस रूप में घोषित किया गया $\rho_A$ तो हम निम्नलिखित कर सकते हैं:
$$ \rho_A = Tr_B(\rho) = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
परिणाम यह निकला $\rho_B = Tr_A(\rho)$ के समान है $\rho_A$ यहाँ और राज्य को देखने से, आप उम्मीद कर सकते हैं कि ऐसा क्यों है।
अधिक सामान्यतः, एक घनत्व ऑपरेटर देता है
$$ \rho = \begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12} & \rho_{13} & \rho_{14}\\ \rho_{21} & \rho_{22} & \rho_{23} & \rho_{24}\\ \rho_{31} & \rho_{32} & \rho_{33} & \rho_{34} \\ \rho_{41} & \rho_{42} & \rho_{43} & \rho_{44} \end{pmatrix}$$
तब फिर
$$ \rho_A = Tr_B(\rho) = \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12}\\\rho_{21} & \rho_{22} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} \rho_{13} & \rho_{14} \\ \rho_{23} & \rho_{24} \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} \rho_{31} & \rho_{32} \\ \rho_{41} & \rho_{42} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix}\rho_{33} & \rho_{34} \\ \rho_{43} & \rho_{44} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_{11} + \rho_{22} & \rho_{13} + \rho_{24} \\ \rho_{31} + \rho_{42} & \rho_{33} + \rho_{44} \end{pmatrix} $$
तथा
$$ \rho_B = Tr_A(\rho) = \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{13}\\\rho_{31} & \rho_{33} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} \rho_{12} & \rho_{14} \\ \rho_{32} & \rho_{34} \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} \rho_{21} & \rho_{23} \\ \rho_{41} & \rho_{43} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix}\rho_{22} & \rho_{24} \\ \rho_{42} & \rho_{44} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_{11} + \rho_{33} & \rho_{12} + \rho_{34} \\ \rho_{21} + \rho_{43} & \rho_{22} + \rho_{44} \end{pmatrix} $$
यदि आप अपने राज्य को एक द्विदलीय प्रणाली में विभाजित करते हैं $\rho_{AB} \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ फिर आंशिक ट्रेस के लिए एक सामान्य सूत्र निम्न द्वारा दिया जाता है:
$$ \text{Tr}_B (\rho) = \sum_{j} (I_A \otimes \langle j |_B) \rho (I_A \otimes | j \rangle_B) $$
कहां है $\{ |j\rangle \}$ प्रणाली के लिए एक आधार है $B$। आपके मामले में, पहले कथन के लिए आप इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं
\begin{align} \text{Tr}_B (|11\rangle\langle00|) &= \sum_{j} (I_A \otimes \langle j |_B) |11\rangle\langle00| (I_A \otimes | j \rangle_B) \\ &= (I_A \otimes \langle 0 |_B) |1\rangle_A |1\rangle_B \langle0|_A \langle0|_B (I_A \otimes | 0 \rangle_B) \\ &\qquad+ (I_A \otimes \langle 1 |_B) |1\rangle_A |1\rangle_B \langle0|_A \langle0|_B (I_A \otimes | 1 \rangle_B)\\ &= |1\rangle\langle0|_A (\langle 0|1\rangle\langle 0|0\rangle) + |1\rangle\langle 0|_A(\langle1|1\rangle\langle0|1\rangle) \\ &= |1\rangle\langle0|_A \langle 0| 1\rangle (\langle 0|0\rangle + \langle 1|1\rangle) \\ &= 0 \end{align} और आप दूसरे कथन को प्राप्त करने के लिए एक समान गणना कर सकते हैं।