'कमजोर' तर्क से क्या अभिप्राय है?

Question

द स्टैनफोर्ड एनसाइक्लोपीडिया ऑफ़ फिलॉसफी, sv "मोडल लॉजिक," कहता है,

मोडल परिवार में सबसे परिचित लॉजिक्स का निर्माण K (शाऊल क्रिपके के बाद) नामक एक कमजोर तर्क से होता है ...

'कमजोर' और 'कमजोरी' के संदर्भ इस वेबसाइट पर पूछे गए सवालों में अपेक्षाकृत अक्सर होते हैं, जैसे कि कमजोर दूसरे क्रम का तर्क । लेकिन न तो उस विशेष शीर्षक के तहत दिए गए उत्तर और न ही कमजोरी की व्याख्या जैसे कि एक स्वयंसिद्ध शब्द का दूसरे के साथ "कमजोर" होने के तहत क्या मतलब है? मुझे समझाएं कि "एक तर्क," या किसी अन्य संपूर्ण प्रणाली की कमजोरी क्या हो सकती है।

"कमजोर तर्क" से क्या अभिप्राय है?

Answer 1

एक तर्क अधिक प्रमेयों को मजबूत करता है जो इसे साबित करता है, और एक कोरोलरी के रूप में, इसके पास कम मॉडल हैं।
जितने अधिक स्वयंसिद्ध हैं, और उतने विशिष्ट स्वयंसिद्ध हैं (इस अर्थ में कि A, B से अधिक विशिष्ट है यदि A, B से गुजरता है, लेकिन B A से नहीं मिलता है), तो अधिक सूत्र, इन स्वयंसिद्धों से कटे-कटे रहेंगे: A तर्क मजबूत है इस अर्थ में कि यह कई वाक्यों को सिद्ध करता है।
दूसरी ओर, जितना अधिक सिद्धांत को सही होने की आवश्यकता होती है, उतनी ही मुश्किल यह है कि संरचना के लिए सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना मुश्किल है, इसलिए कम मॉडल होंगे: एक तर्क इस अर्थ में मजबूत है कि यह किक आउट करने का प्रबंधन करता है कई संरचनाएं और कुछ ही संभावनाएं छोड़ती हैं कि ब्रह्मांड क्या देख सकता है।

मोडल लॉजिक K का केवल एक नियम और एक स्वयंसिद्ध है, या अभिगम संबंध के संदर्भ में, कोई अड़चन नहीं है। इसलिए कोई भी मोडल संरचना इस सिद्धांत को संतुष्ट कर सकती है, और ऐसा नहीं है कि कई प्रमेय जो केवल इस एक स्वयंसिद्ध शब्द से प्राप्त किए जा सकते हैं, और इन सभी संरचनाओं में सार्वभौमिक रूप से सच होने का प्रबंधन करते हैं, इस अधिक सामान्य सेटिंग में।
एक्सेसिबिलिटी रिलेशन पर अधिक स्वयंसिद्ध या बाधाओं को जोड़कर, अधिक संरचनाओं को खारिज किया जाता है। इस प्रकार अधिक वाक्यों को सिद्ध किया जा सकता है, और उन सभी कम मॉडलों में, इस अधिक विशिष्ट सिद्धांत में सत्य होने का प्रबंधन किया जा सकता है। T, S4, S5 जैसे सिद्धांत इसलिए K की तुलना में अधिक मजबूत हैं।

ध्यान दें कि यह परिभाषा टूट जाती है यदि तर्क असंगत है और विस्फोट के शास्त्रीय नियम को शामिल करता है: तो तर्क हर कथन को साबित करता है, और इसका कोई मॉडल नहीं है - जो उपरोक्त मानदंडों से इसे अनिश्चित काल तक मजबूत बना देगा; लेकिन यह वह नहीं है जो हम सहज रूप से चाहते हैं, क्योंकि ऐसा तर्क तुच्छ है। (हालांकि ध्यान दें कि यह शास्त्रीय संधि एक आवश्यकता नहीं है: ऐसे तर्क हैं जो स्वचालित रूप से असंगत सिद्धांत नहीं बनाते हैं; cf. paraconsistent logic)।