कनेक्टिविटी की परिभाषा और यह अंतर्ज्ञान है
हम एक टोपोलॉजिकल स्पेस कहते हैं $X$कनेक्ट होने के लिए अगर यह दो nonempty खुले सबसेट के असंतुष्ट संघ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। सहज रूप से जुड़ाव का अर्थ है कि हमारा टोपोलॉजिकल स्पेस एक एकल टुकड़ा है। मैं यह देखने में सक्षम नहीं हूं कि उपरोक्त परिभाषा अंतर्ज्ञान को कैसे पकड़ती है। कृपया मदद कीजिए।
जवाब
यदि कोई स्थान है $X$ दो या दो से अधिक अंक के रूप में लिखा जा सकता है $A \cup B$, साथ से $A,B$बहुत सारे तरीकों से निराश और गैर-खाली । लेकिन डिसकनेक्ट होने का मतलब है कि ऐसा करने का एक तरीका है, जिसका कोई मतलब नहीं है$A$ इसके करीब है" $B$ और का कोई मतलब नहीं $B$ इसके करीब है" $A$। क्लोजर में होने से टोपोलॉजी में औपचारिक होने के करीब है। इसलिए एक स्थान पर कॉल करें$X$ काट दिया जब हम इसे लिख सकते हैं $A \cup B$, दोनों गैर-खाली और ऐसे सेट करते हैं $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (की कोई बात नहीं $B$ इसके करीब है $A$) तथा $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (की कोई बात नहीं $A$ इसके करीब है $B$) है। लेकिन इसका मतलब है कि$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ विशेष रूप से $A=\overline{A}$ तथा $A$बंद हो गया है। सममित रूप से,$B$ भी बंद है, और के रूप में $A$ तथा $B$ एक दूसरे के पूरक हैं, $A$ तथा $B$ खुले भी हैं (जो आप निम्नानुसार भी देख सकते हैं, जैसे कि $x \in A$ के आंतरिक बिंदु नहीं थे $A$के हर पड़ोस में $x$ गैर शामिल होंगे-$A$ अंक, तो के अंक $B$, जैसा $A\cup B=X$। और अगर हर पड़ोस का$x$ चौराहों $B$, $x \in \overline{B}$, लेकिन हमने कोई मतलब नहीं निकाला $x$ का $A$ के करीब था $B$...)
तो हम सवाल की परिभाषा में हैं, एक ऐसी जगह को कॉल करना जो इस अर्थ में डिस्कनेक्ट नहीं है, "कनेक्टेड"। यह वास्तव में एक साथ खुले भागों, एक साथ बंद भागों या "अलग" भागों (पहली परिभाषा के रूप में) के लिए डिस्कनेक्टेडनेस परिभाषा में पूछने के बराबर है।
यदि आप कुछ जुड़े सेट को दो टुकड़ों में काटते हैं, तो कट की जगह पर, दो टुकड़ों में से एक "खुला" होगा, जबकि दूसरा "बंद" होगा। उदाहरण के लिए, यदि आप बिंदु पर वास्तविक रेखा को दो टुकड़ों में काटते हैं$a\in\mathbb R$, आपको या तो दो टुकड़े मिलेंगे $(-\infty,a],(a,\infty)$, या $(-\infty,a),[a,\infty)$। कम से कम उनमें से एक में एक बंद सीमा होती है$a$। कट से संबंधित बिंदुओं को दो टुकड़ों में से एक में शामिल करने की आवश्यकता होती है, और उस टुकड़े में सीमा बिंदु के रूप में काटने का बिंदु होगा। इसी तरह अधिक जटिल स्थानों के लिए: जिस रेखा के साथ हम कटते हैं उसे दो टुकड़ों के बीच वितरित करना होता है, जिससे उन्हें एक सीमा मिलती है, जिससे वे खुले नहीं।
बेशक, हमें एक लाइन / प्लेन / जो कुछ भी काटने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह ऐसा मामला है जहां अंतर्ज्ञान सबसे स्पष्ट रूप से स्पष्ट है।