के लिए सबूत $e\leq 3(v-2)$ [क्यों करता है $d(f) \geq 3$?]
यहाँ प्रसिद्ध प्रमेय है, "प्लानेर ग्राफ के लिए $G$, अगर $v\geq3$ फिर $e\leq 3(v-2)$"
मैंने अपने असतत गणित नोट की समीक्षा की है, अचानक प्रश्न ने मेरे दिमाग को पार कर दिया।
जब हम साबित कर रहे हैं $e\leq 3(v-2)$ प्लानर ग्राफ के लिए, $G$। हमने इस्तेमाल किया$d(f) \geq 3$।
मेरे नोट में, इसने मुझे इसका कारण बताया $d(f) \geq 3$ "प्रत्येक चेहरा कम से कम तीन किनारों से घिरा होता है, लेकिन प्रत्येक किनारा दो चेहरे की सीमा होती है।"
जब मैंने पहली बार इसे देखा, तो यह मेरे लिए स्पष्ट था। लेकिन समय बीत गया मुझे उस पर संदेह है।
क्योंकि ... मुझे नीचे काउंटर उदाहरण का सुझाव दें।
उपरोक्त ग्राफ प्लानेर ग्राफ और है $v=3, e=2,f=1$। लेकिन वो$d(f) \lt 3$ (यानी चेहरा तीन किनारों से बंधा नहीं है)
फिर भी मैं उलझन में हूँ कि मैंने क्या गलती की।
किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।
जवाब
इस उत्तर में आपके प्रतिवाद की चर्चा की गई है । क्योंकि किनारे एक ही चेहरे की सीमाएं हैं, प्रमाण में "चेहरे की सीमा" में 4 किनारे हैं (प्रत्येक किनारे को दो बार गिना जाता है)।