केवल एक सीधा का उपयोग करके एक बिंदु के माध्यम से समानांतर खींचने के लिए असंभवता का प्रदर्शन।
इस प्रश्न की प्रतिक्रियाओं से , यह अच्छी तरह से पता है कि यह एक सीधी रेखा के समानांतर का पता लगाना असंभव है:$\ell$ एक बिंदु के माध्यम से: $P$, विशेष रूप से एक सीधा उपयोग करते हुए।
क्या आप ऐसे तथ्य का प्रदर्शन प्रदान कर सकते हैं?
जवाब
एक निर्माण जो केवल एक सीधा उपयोग करता है, उसे एक परिवर्तनकारी परिवर्तन (उर्फ होमोग्राफी) के माध्यम से परिवर्तित किया जा सकता है ।
मान लीजिए कि आपने एक लाइन के लिए एक सीधा निर्माण किया था $m$ बिंदु के माध्यम से $P$ लाइन के समानांतर $\ell$। मान लीजिए कि एक परिवर्तनकारी परिवर्तन मानचित्र$P\rightarrow P'$ तथा $\ell\rightarrow \ell'$। फिर वही निर्माण एक लाइन का उत्पादन करेगा$m'$ जो सामान्य रूप से समानांतर नहीं है $\ell'$। इसलिए हमारे पास एक विरोधाभास है, और इस तरह का कोई सीधा निर्माण नहीं है।
यदि प्रदर्शनकारी परिवर्तन छोड़ देता है, तो प्रदर्शन थोड़ा अधिक सम्मोहक है $P$ तथा $\ell$अपरिवर्तनीय। उस स्थिति में, एक ही निर्माण दो अलग-अलग लाइनों का उत्पादन करेगा, जब एक ही बिंदु और रेखा से पहले और बाद में लागू किया जाएगा।