किन मूल्यों के लिए $\alpha$ है { $z_n$} एक अनुक्रम अनुक्रम?

Aug 16 2020

कहा पे $\alpha$ एक वास्तविक स्थिरांक है, इस क्रम पर विचार करें {$z_n$} द्वारा परिभाषित $z_n=\frac{1}{n^\alpha}$। किस मूल्य के लिए$\alpha$ है {$z_n$} एक अनुक्रम अनुक्रम?

मैं इस तरह के प्रश्न से कैसे शुरू कर सकता हूं? मुझे लगता है कि$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$ अनुक्रम अभिसरण है और इसलिए बाध्य है, लेकिन मैं इसे कैसे लिखूं?

जवाब

1 Zuy Aug 16 2020 at 17:30

अगर $\alpha=0$, $(z_n)$ निरंतर है, इसलिए बाध्य है।

अगर $\alpha>0$, $(z_n)$ 0 में कनवर्ट करता है और इस तरह से घिरा हुआ है।

अगर $\alpha<0$, $(z_n)$ को विचलित करता है $+\infty$ और इस प्रकार अबाधित है।

1 BenGrossmann Aug 16 2020 at 17:32

जैसा कि मैं टिप्पणी में बताता हूं, आपके पास सही उत्तर है। केवल शेष कार्य उत्तर की औपचारिक व्याख्या देना है। उत्तर लिखने का एक तरीका इस प्रकार है:

सबसे पहले, हम ध्यान दें कि फ़ंक्शन $f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$ द्वारा परिभाषित $f(x) = x^{\beta}$ संतुष्ट करता है $$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$ मुझे संदेह है कि आपको इस बयान को औपचारिक रूप से साबित करने की आवश्यकता नहीं है: यह संभावना है कि पाठ्यपुस्तक में एक बयान है जिसे आप संदर्भित कर सकते हैं।

उस स्थापित के साथ, समस्या का समाधान करें $3$ मामलों: मामले में है कि $\alpha < 0$, उपरोक्त तथ्य का उपयोग करके निष्कर्ष निकालना कि $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम बाध्य नहीं है। मामले में वह$\alpha = 0$, इसका निष्कर्ष निकालें $z_n \to 0$, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम अभिसरण है और इसलिए बाध्य है। इसी तरह, यदि$\alpha > 0$, इसका निष्कर्ष निकालें $z_n \to 0$, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम अभिसरण है और इसलिए बाध्य है।

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि और केवल अनुक्रम अनुक्रम बद्ध है $\alpha \geq 0$