किन मूल्यों के लिए $\alpha$ है { $z_n$} एक अनुक्रम अनुक्रम?
कहा पे $\alpha$ एक वास्तविक स्थिरांक है, इस क्रम पर विचार करें {$z_n$} द्वारा परिभाषित $z_n=\frac{1}{n^\alpha}$। किस मूल्य के लिए$\alpha$ है {$z_n$} एक अनुक्रम अनुक्रम?
मैं इस तरह के प्रश्न से कैसे शुरू कर सकता हूं? मुझे लगता है कि$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$ अनुक्रम अभिसरण है और इसलिए बाध्य है, लेकिन मैं इसे कैसे लिखूं?
जवाब
अगर $\alpha=0$, $(z_n)$ निरंतर है, इसलिए बाध्य है।
अगर $\alpha>0$, $(z_n)$ 0 में कनवर्ट करता है और इस तरह से घिरा हुआ है।
अगर $\alpha<0$, $(z_n)$ को विचलित करता है $+\infty$ और इस प्रकार अबाधित है।
जैसा कि मैं टिप्पणी में बताता हूं, आपके पास सही उत्तर है। केवल शेष कार्य उत्तर की औपचारिक व्याख्या देना है। उत्तर लिखने का एक तरीका इस प्रकार है:
सबसे पहले, हम ध्यान दें कि फ़ंक्शन $f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$ द्वारा परिभाषित $f(x) = x^{\beta}$ संतुष्ट करता है $$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$ मुझे संदेह है कि आपको इस बयान को औपचारिक रूप से साबित करने की आवश्यकता नहीं है: यह संभावना है कि पाठ्यपुस्तक में एक बयान है जिसे आप संदर्भित कर सकते हैं।
उस स्थापित के साथ, समस्या का समाधान करें $3$ मामलों: मामले में है कि $\alpha < 0$, उपरोक्त तथ्य का उपयोग करके निष्कर्ष निकालना कि $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम बाध्य नहीं है। मामले में वह$\alpha = 0$, इसका निष्कर्ष निकालें $z_n \to 0$, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम अभिसरण है और इसलिए बाध्य है। इसी तरह, यदि$\alpha > 0$, इसका निष्कर्ष निकालें $z_n \to 0$, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम अभिसरण है और इसलिए बाध्य है।
इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि और केवल अनुक्रम अनुक्रम बद्ध है $\alpha \geq 0$।