कॉम्पैक्ट रूप से एम्बेडेड है $L^p(0,1)$ लेकिन का एक उप-समूह नहीं है $C^0[0,1]$

Question

Rellich-Kondrachov प्रमेय द्वारा, एक जानता है कि एम्बेडिंग $H^1(0,1) \subset L^2(0,1)$ कॉम्पैक्ट है।

दूसरी ओर, सोबोलेव असमानताओं द्वारा, एक के पास भी है $H^1(0,1) \subset C^0[0,1]$ (वास्तव में, यहां तक ​​कि $C^{0,\frac{1}{2}}$ इस एक आयामी मामले में, कैलकुलस के मौलिक प्रमेय और कुछ कॉची-श्वार्ट्ज तर्कों का उपयोग करके)।

मेरा प्रश्न यह है कि क्या निम्नलिखित अर्थों में कुछ "मध्यवर्ती उपप्रस्थ" मौजूद है।

अर्थात्, एक हिल्बर्ट स्थान मौजूद है $H$ जो कॉम्पैक्ट रूप से एम्बेडेड है $L^p(0,1)$ कुछ के लिए $p\geq 1$, और जो का एक उप-समूह नहीं है $C^0[0,1]$?

Answer 1

हां, ऐसे हिल्बर्ट स्थान मौजूद हैं और वे भिन्नात्मक सोबोलेव रिक्त स्थान का एक विशेष मामला हैं । के लिये$\alpha\in(0,1/2)$ अपने पास $H^\alpha(0,1)\subset L^2(0,1)$ परिभाषा के अनुसार, और एक कदम फ़ंक्शन जो दिखा सकता है $1$ पर $(1/2,1)$ तथा $0$ और में है $H^\alpha(0,1)$। चूंकि यह फ़ंक्शन निरंतर नहीं है,$H^\alpha(0,1)$ में एम्बेड नहीं करता है $C^0[0,1]$।

यह भी सबूत देखें कि एक बंधे हुए खुले सेट की विशेषता कार्य है$H^{\alpha}$ अगर $\alpha < \frac{1}{2}$और किस अंश में सोबोलेव रिक्त स्थान चरण फ़ंक्शन से संबंधित हैं? ( अधिक जानकारी के लिए चरण फ़ंक्शन के सोबोलेव-स्लोबोडेकज मानदंड) ।

यह भी ज्ञात है कि $H^\alpha(0,1)$ में कॉम्पैक्ट रूप से एम्बेड करता है $L^2(0,1)$ के लिये $\alpha\in (0,1/2)$। यह इस पीडीएफ में प्रमेय 7.1 से इस प्रकार है ।