कुछ आरएच जैसी धारणा के तहत पीएनटी में बाध्य त्रुटि
व्याख्यान नोट्स में, एक अभ्यास था जिसके साथ मैं संघर्ष करता हूं। यहाँ,$\psi$चेचीशेव फ़ंक्शन को दर्शाता है । मैंने मान लिया$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$ कुछ के लिए $0<\varepsilon<1/2$ (जो रीमैन हाइपोथीसिस के एक कम मजबूत संस्करण से आएगा, जो कि फॉर्म का कुछ शून्य-मुक्त क्षेत्र है $\{\sigma>c\}$) का है। भागों द्वारा सारांश का उपयोग करके, मैंने लिखा$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$ जिसने मुझे यह साबित करने की अनुमति दी $$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$
अब, बाकी अभ्यास में, मुझे यह साबित करने के लिए कहा गया है $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$ किसी के लिए $\delta>0$ (यह वह भाव है जिसमें $\text{Li}(x)$ एक बेहतर सन्निकटन है $\pi(x)$ बस से $\frac{x}{\log(x)}$) का है। इसे कैसे साबित करें?
यदि मुझे विश्वास है, कि, $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$ कुछ के लिए $\delta>0$, तो मुझे नहीं पता कि मुझे कौन सा विरोधाभास मिलना चाहिए।
मैंने शास्त्रीय असमानताओं की कोशिश की: $$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$लेकिन मुझे शक है कि यह मुझे कहीं भी ले जा रहा है। क्या किसी के पास कोई संकेत / विचार है? अभ्यास कुछ सामान्य ज्ञान के अलावा कोई नहीं देता है ।
जवाब
आपने जो साबित किया, उसके आधार पर हमारे पास है $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$ अब, यह दिखाया जा सकता है, भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके, कि $$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$ इसलिए, $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$