क्या अंतर करना संभव है $\sin x$ इसके संबंध में $\cos x$ पहले सिद्धांतों से?

Question

मैं विश्वविद्यालय प्रवेश परीक्षा के लिए आज एक अभ्यास समस्या कर रहा था, जहाँ उसने मुझे अंतर करने के लिए कहा $\sin x$ इसके संबंध में $\cos x$। समाधान मैंने पाया कि चेन नियम का इस्तेमाल किया गया है:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

हालाँकि, मैंने इस समस्या के बारे में जितना सोचा था, उतना ही यह मुझे थोड़ा असहज महसूस करवा रहा था। मुझे वास्तव में समझ में नहीं आता है कि किसी फ़ंक्शन को किसी अन्य फ़ंक्शन के संबंध में अंतर करने का क्या मतलब है, यदि यह संभव है। इसलिए मैंने अंतर करने की कोशिश की$\sin x$ इसके संबंध में $\cos x$ पहले सिद्धांतों से, बस मुझे पता था कि मैं किसके साथ काम कर रहा था:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

इसके पीछे का विचार इलाज करना था $\cos x$बस के रूप में मैं किसी भी अन्य चर होगा। हालाँकि, इसने मुझे गलत उत्तर दिया$(\cos \circ \cos)(x)$, और मुझे समझ नहीं आ रहा है कि क्यों। क्या यह सोचने का एक सहज तरीका है कि किसी फ़ंक्शन को किसी अन्य फ़ंक्शन के संबंध में अंतर करने का क्या मतलब है?

Answer 1

आप एक बदलाव को मापना चाहते हैं $\sin{x}$ के बदलाव के संबंध में $\cos{x}$। इसलिए आप यह चाहते हैं$\sin{x}$ के एक समारोह के रूप में $\cos{x}$, जो एक ही चीज नहीं है $\sin(\cos{x})$। इसमें आपका मौलिक मुद्दा है।

आप क्या चाहते हैं: यदि $x \in [0, \pi]$, फिर $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, इसलिए \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} जैसी इच्छा।

व्यायाम: क्या होता है जब $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

सेट $y=\cos x$, फिर, के लिए $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ सीमा के लिए, आपको लिखना चाहिए $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$