क्या दो एबेलियन सामान्य उपसमूहों के तत्व आवागमन करते हैं?

Question

इसलिए $H$ तथा $K$कुछ समूह के सामान्य एबेलियन उपसमूह हैं। क्या यह सभी के लिए सच है$h \in H$ और सभी के लिए $k \in K$ उस $hk=kh$? मुझे नहीं लगता कि बयान मान्य है लेकिन मैं एक (बल्कि सरल) प्रतिसाद पाने में असमर्थ हूं।

Answer 1

लश्कर $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ आदेश का चतुर्भुज समूह हो $8$। विचार करें$H=\{\pm1,\pm i\}$ तथा $K=\{\pm1,\pm j\}$।

Answer 2

सबसे आसान काउंटरएक्सप्लिमेंट डायहडरल ग्रुप है $D_8$, द्वारा उत्पन्न $a$ आदेश का $4$ तथा $b$ आदेश का $2$। का हर तत्व$D_8$ क्रम के एक सामान्य उपसमूह में निहित है $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ तथा $\{1,a^2,ab,a^3b\}$। ये निश्चित रूप से सभी अबेलियन हैं, क्योंकि उनके पास ऑर्डर है$4$। अगर आपका बयान हुआ, तो$D_8$ इसलिए अबेलियन होगा, जो निश्चित रूप से नहीं है।

का उदाहरण है $Q_8$अन्य दो उत्तर पूरी तरह से मान्य हैं, बिल्कुल। वास्तव में, यदि$G$ आदेश के किसी भी गैर- abelian समूह है $p^3$ तब प्रत्येक तत्व क्रम के एक उपसमूह में निहित होता है $p^2$ (जो आवश्यक रूप से एबेलियन और सामान्य है), और इसलिए प्रत्येक गैर-एबेलियन ग्रुप ऑफ ऑर्डर $p^3$ एक प्रतिवाद है।

Answer 3

कोई भी हैमिल्टनियन समूह आपको परिभाषा के अनुसार प्रतिउत्तर देगा, क्योंकि कोई भी चक्रीय उपसमूह अबेलियन और सामान्य है, फिर भी आप जनरेटर के साथ दो चक्रीय उपसमूह पा सकते हैं जो हंगामा नहीं करते हैं।

इस तरह के सबसे छोटे उदाहरण चतुर्धातुक समूह हैं $Q_8$।