क्या हिल्बर्ट के अंतरिक्ष के गैर-बंद उप-वर्ग को वर्गीकृत करना संभव है?

Jan 15 2021

लश्कर $H$ हिल्बर्ट का स्थान हो।

बेतहाशा असंतुलित लीनियर फंक्शंस के बारे में मेरे पिछले प्रश्न से प्रेरित , जिसकी व्याख्या घने पौधों को वर्गीकृत करने के प्रयास के रूप में की जा सकती है।$H$मुझे अब सीधे इस बिंदु पर जाना चाहिए:

प्रश्न

  1. क्या घने हाइपरप्लेन में कोई महत्वपूर्ण अंतर हैं $H$?

  2. अगर $L$ तथा $M$ में दो घने हाइपरप्लेन हैं $H$, वहाँ एक एकात्मक ऑपरेटर मैपिंग है $L$ सेवा मेरे $M$?

  3. (2) का उत्तर नकारात्मक है, एकात्मक समूह की प्राकृतिक क्रिया के लिए कितनी परिक्रमाएँ हैं $\mathscr U(H)$ घने हाइपरप्लेन के सेट पर?


सामान्य (आवश्यक रूप से बंद या घने नहीं) के बारे में बोलना $H$वहाँ कुछ चीजें हैं जो उस संबंध में कह सकते हैं।

उदाहरण के लिए, ऐसे सभी रिक्त स्थान को एक सीमित ऑपरेटर की सीमा के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है और विशेष रूप से, कोई घने हाइपरप्लेन योग्य नहीं होता है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि अगर ऐसे ऑपरेटर की रेंज में परिमित सह-आयाम है, तो इसे बंद कर दिया जाना चाहिए (यह क्लोज्ड ग्राफ प्रमेय से आसानी से अनुसरण करता है)।

एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर की सीमा में कोई अनंत आयामी बंद उप-समाहित नहीं होता है, इसलिए यह एक और संपत्ति है जो उप-श्रेणियों को वर्गीकृत करने के लिए उपयोग कर सकता है।

अधिक प्रश्न

  1. क्या कोई आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है, जो सामयिक / विश्लेषणात्मक शब्दों में व्यक्त की गई है, जो सभी उप-स्थानों के बीच एक बंधे (सम्मान कॉम्पैक्ट) ऑपरेटर की सीमा को चिह्नित करती है। $H$?

  2. के गैर-बंद उप-वर्गों के कितने एकात्मक समतुल्य वर्ग $H$वहां हैं? इनमें से कितने को सामयिक / विश्लेषणात्मक शब्दों में वर्णित किया जा सकता है?

जवाब

1 Black Jan 16 2021 at 21:26

मुझे लगता है कि मेरे पास कॉम्पैक्ट केस में प्रश्न 4 का एक सरल उत्तर है: एक अनंत आयामी उप-स्थान $E\subseteq H$ एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर iff की सीमा होती है, जिसमें ऑर्थोगोनल (जैसा कि ऑर्थोनॉमिक के विपरीत) सेट मौजूद होता है $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, ऐसा है कि $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ तथा $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ यह कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय, और तथ्य यह है कि कॉम्पैक्ट ऑपरेटर की सीमा से आसानी से इस प्रकार है $T$ की सीमा के साथ मेल खाता है $|T|$