क्या प्रत्येक रद्द करने योग्य इनवर्टेड-फ्री मोनॉयड को एक समूह में एम्बेड किया जा सकता है?
अगर कोई मोनॉयड उल्टा- सीधा है$xy=1$ का तात्पर्य $x=y=1$ सभी के लिए $x,y$।
प्रश्न: क्या प्रत्येक रद्द करने योग्य इन्वर्टिबल-फ्री मोनॉयड को एक समूह में एम्बेड किया जा सकता है?
मुझे पूरा यकीन है कि अपने दर्पण के साथ इस तरह के एक मोनोड के मुफ्त उत्पाद का एक भाग (यह समान तत्वों और पहचान के साथ एक ही है, लेकिन उलटा गुणा, यानी $x\cdot y=yx$) "सबसे सामान्य" समूह है जिसमें इसे एम्बेड किया जा सकता है।
यह प्राकृतिक संख्याओं से पूर्णांकों के निर्माण का गैर-कम्यूटेटिव संस्करण है।
क्या यह साहित्य में कहीं भी एक समस्या / प्रस्ताव / प्रमेय के रूप में दिखाई देता है?
जवाब
नहीं, यह सही ढंग से उत्पन्न monoids के लिए भी सच नहीं है। कोई भी सेमीग्रुप लें$S$जो रद्द है और एक समूह में एम्बेड नहीं करता है (पहले उदाहरण मालसेव द्वारा निर्मित किए गए थे)। मोनॉयड पर विचार करें$S^1$ जो है $S\sqcup\{1\}$ साथ से $1$ a (नया यदि $S$एक monoid) तटस्थ तत्व है। फिर$S^1$एक उलटा-मुक्त मोनॉइड है जो एक समूह में एम्बेड नहीं करता है। यह रद्दीकरण iff है$S$ एक तटस्थ तत्व नहीं है।