क्या वास्तविक सममित मैट्रिक्स के सभी मूल निवासी हैं?

Aug 16 2020

जैसा कि मैंने रैखिक बीजगणित में सीखा है, एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स $A$ हमेशा ऑर्थोगोनल आइगेनवेक्टर्स होते हैं $A$ orthogonally diagonalizable.But असली सममित मैट्रिक्स के सभी मूल निवासी हैं?

असल में, $A$ विकर्ण है, इसलिए हम उलटा पा सकते हैं $P$ तथा $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$लेकिन मैं साबित नहीं कर सकता $P$ orthogonal.I है कि केवल पा सकते हैं $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ इसलिए $P^{T}PS=SP^{T}P.$यह वह नहीं दिखा सकता $P^{T}P=I_{n}.$

तो यह यह $P$ओर्थोगोनल? यदि नहीं, तो ऑर्थोगोनल आइजनवेक्टर्स के साथ इसका क्या संबंध है?

वैसे मुझे यह समस्या तब आई जब मैं एक लेक्चर नोट पढ़ रहा था।http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf

मुझे लगता है कि किसी भी सममित मैट्रिक्स को साबित करने का उनका तरीका ऑर्थोगोनल आइजनवेक्टर गलत है।

किसी भी मदद के लिए धन्यवाद दिया जाएगा।

जवाब

6 DavidC.Ullrich Aug 16 2020 at 19:42

कहा कि लिंक में प्रमेय $A$"ऑर्थोगोनल आइगेनवेक्टर्स" को और अधिक सटीक रूप से कहा जाना चाहिए। (एक ऑर्थोगोनल वेक्टर के रूप में ऐसी कोई बात नहीं है, इसलिए यह कहना है कि आइजनवेक्टर ऑर्थोगोनल हैं, इससे कोई मतलब नहीं है। वैक्टर का एक सेट ऑर्थोगोनल है या नहीं, और सभी ईजेनोवेक्टरों का सेट ऑर्थोगोनल नहीं है।)

यह स्पष्ट रूप से गलत है कि किसी भी दो eigenvectors ऑर्थोगोनल हैं, क्योंकि यदि $x$ एक eigenvector है तो ऐसा है $2x$। यह सच है कि अलग-अलग ईजेंवलों के अनुरूप आइजनवेक्टर ऑर्थोगोनल हैं। और यह तुच्छ है: मान लीजिए$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$। फिर$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$इसलिए $x\cdot y=0$

क्या वह पीडीएफ गलत है? प्रमेय के बयान के साथ गंभीर समस्याएं हैं । लेकिन यह मानते हुए कि वह वास्तव में क्या मतलब है जो मैं ऊपर कहता हूं, प्रमाण शायद सही है, क्योंकि यह बहुत सरल है।

3 egreg Aug 16 2020 at 20:22

वास्तव में, आप यह साबित नहीं कर सकते कि एक मैट्रिक्स जो विकर्ण करता है $A$ ऑर्थोगोनल है, क्योंकि यह गलत है।

मसलन, लो $A=I$(पहचान मैट्रिक्स)। कोई भी उल्टा मैट्रिक्स$P$ diagonalizes $I$, लेकिन निश्चित रूप से $P$ ऑर्थोगोनल होने की जरूरत नहीं है।

अगर $A$ है $n$ अलग-अलग स्वदेशी (जहां) $A$ है $n\times n$), तब कथन सत्य है, क्योंकि अलग-अलग प्रतिजन के अनुरूप आइजनवेक्टर ऑर्थोगोनल हैं ( डेविड सी। उल्रिच उत्तर देखें )।

अन्यथा आपको आइजनवेक्टर का एक आधार लेने की आवश्यकता है; फिर, प्रत्येक प्रतिध्वनि के लिए$\lambda$, आप इसी के आधार पर eigenvectors लेते हैं $\lambda$और इसे orthogonalize। तब आपको आइगेनवेक्टर्स का ऑर्थोगोनल आधार मिलता है।

और हाँ, व्याख्यान नोट्स में प्रमाण गलत है: का उपयोग करना $A=I$यह तर्क साबित होगा कि प्रत्येक उलटा मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल है, जो स्पष्ट रूप से गलत है।