क्या विभिन्न प्रकार के आकारिकी के साथ एक प्रीऑर्डर होना संभव है?

Aug 17 2020

मैं एक गैर-गणितज्ञ हूं, श्रेणी सिद्धांत के लिए काफी नया है और इसमें निम्नलिखित प्रश्न होंगे:

क्या विभिन्न प्रकार के आकारिकी के साथ एक प्रीऑर्डर होना संभव है? प्रत्येक वस्तु के बीच की हर जोड़ी में अभी भी केवल एक आकृति है। हालाँकि प्रश्न में रूपवाद हमेशा एक अलग होता है (पहचान आकृति विज्ञान को छोड़कर)।

एक अनौपचारिक उदाहरण: डेविड स्पिवक्स के बाद [1] ऑलॉग दृष्टिकोण एक भूखे कुत्ते की कल्पना करता है जो हमेशा अपने मालिक द्वारा खरीदा गया भोजन खाता है।
तीन वस्तुओं को मानें: एक डॉगनर ओ, एक डॉग डी और डॉग फूड एफ। इसके अलावा चार आकार भी मानते हैं: "मालिक", "खाता है", "खरीदता है" ("खरीदता है कुत्ते का भोजन" जो केवल वह खरीदता है) और " है"।
प्रत्येक वस्तु स्वयं है, इसलिए प्रत्येक वस्तु से स्वयं के लिए एक "है" आकारिकी है। तदनुसार, डी "मालिक" ओ, ओ "एफ खाती है" एफ, और डी "खरीदता है" एफ। अंत में कुत्ते परिभाषा के अनुसार हमेशा भूखे होते हैं और इसे दिए गए सभी भोजन खाते हैं, इसलिए इसे धारण करना चाहिए कि
"ओ" खाती है "= "खरीदता है"।

इस मामले में सवाल: यह एक प्रस्तावना होगी? यह एक श्रेणी के लिए सभी मानदंडों को पूरा करता है: पहचान आकार और संरचना की जानकारी दी जाती है। [2] के बाद यह एक प्रीऑर्डर के मानदंड को भी पूरा करता है कि "एक प्रॉसेट एक (सख्त) पतली श्रेणी है: एक सख्त श्रेणी ऐसी है कि वस्तुओं के किसी भी जोड़े के लिए एक्स, वाई, एक्स से वाई तक अधिकांश एक आकार में है। "

हालाँकि, मैंने किसी भी सामान्य उदाहरणों में कुछ भी समान नहीं देखा है: ≤ और orders प्रीऑर्डर्स के लिए सामान्य उदाहरण हैं और श्रेणी में वस्तुओं पर लागू होने वाले एकमात्र रूप हैं।

सर्वश्रेष्ठ सादर पावेल

पुनश्च: मैं एक अधिक "औपचारिक" उदाहरण के साथ नहीं आ सकता जो एक संकेतक हो सकता है कि मैं गलत रास्ते पर हूं।

स्रोत:

[१] स्पिवक, डेविड I, रॉबर्ट ई। केंट, "ऑलॉग्स: ए ग्रेडोरिकल फ्रेमवर्क फॉर नॉलेज रिप्रेजेंटेशन" https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder

जवाब

2 RaviFernando Aug 17 2020 at 17:41

हां, यह एक प्रीऑर्डर है। श्रेणी सिद्धांत की प्रमुख अंतर्दृष्टि में से एक यह है कि अक्सर, वस्तुओं के सार गुण (और उनके बीच आकारिकी) उनके महत्वपूर्ण विवरणों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण होते हैं। जैसा कि आपने बताया, जिस श्रेणी का आपने वर्णन किया है, वह "पहले जैसा दिखने वाला नहीं है", क्योंकि आकारिकी को नाम नहीं दिए गए हैं$\subseteq$ या $\leq$। लेकिन श्रेणी सिद्धांत नामों की परवाह नहीं करता है। आपकी श्रेणी प्रीऑर्डर की परिभाषा को संतुष्ट करती है, इसलिए यदि आपके पास प्रीमेन्स के बारे में कुछ फैंसी प्रमेय है, तो इसे इस श्रेणी में लागू करना पूरी तरह से मान्य होगा।

1 varkor Aug 17 2020 at 17:37

छोटा जवाब हां है। आकारिकी के नाम / अर्थ डेटा का हिस्सा नहीं हैं: क्या महत्वपूर्ण है कि कैसे आकारिकी रचना करता है। याद रखें कि एक श्रेणी को परिभाषित करने के लिए वस्तुओं के सेट को निर्दिष्ट करना है, और आकृति विज्ञान (पहचान और संरचना के साथ) के सेट को निर्धारित करना है। (यह हो सकता है कि$\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ यह कड़ाई से नहीं कहा जाता है, एक अच्छी तरह से गठित सेट है, क्योंकि एक प्राथमिकताओं को परिभाषित नहीं किया गया है, हालांकि सामान्य तौर पर यह एक सेट पर विचार करने के लिए हानिरहित है, क्योंकि कार्डिनिटी 3 के किसी भी सेट को लेना उपयुक्त होगा।) इसलिए आपको चाहिए। आप की तरह के रूप में लेबल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें: यदि आप नामों को भूल जाते हैं, और बस संरचना के ढांचे के साथ अंतर्निहित ग्राफ पर विचार करें, तो आप देखेंगे कि आपके पास वास्तव में एक प्रीऑर्डर है।