क्यों $x(t)$ आवधिक नहीं लेकिन $x[n]$ है?
मैं सिग्नल और सिस्टम को टटोल रहा हूं और मुझे इस समस्या का सामना करना पड़ा है।
परिभाषा से, $x(t)$ निरंतर-समय संकेत और $x[n]$ असतत समय संकेत को दर्शाता है।
$x(t)$ यदि आवधिक मौजूद है तो आवधिक है $T>0$ ऐसा है कि $x(t) = x(t+T)$ सबके लिए $t$ वास्तविक संख्याओं का सबसेट है।
$x[n]$ यदि आवधिक मौजूद है तो आवधिक है $N>0$ ऐसा है कि $x[n] = x[n+N]$ सबके लिए $n$ पूर्णांकों का सबसेट है।
फिर मैं इस सवाल पर आया: क्यों है $x(t)$ एपेरियोडिक
$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$
मेरे द्वारा किए गए कामकाज इस प्रकार हैं:
$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$
मान लीजिये $x(t) = x(t+T)$
अर्थात $(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$
$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $
मानते हुए $k$पूर्णांक है, क्या यह आवधिक नहीं है? कृपया मुझे बताएं कि क्या मेरी गणना गलत है।
माफी अगर मैं एक अप्रासंगिक विषय पोस्ट कर रहा हूं और आपकी प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद।
जवाब
आपने दिखाया है:
अगर $x(t)$ आवधिक है, तो कुछ है $T>0$ ऐसा है कि $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ हर वास्तविक के लिए एक पूर्णांक है $t$।
* संपादित करें: जैसा कि टिप्पणियों में @SHW द्वारा बताया गया है, यह बिल्कुल सच नहीं है। बल्कि, यह होना चाहिए
$x(t)$ अगर कुछ है और केवल तभी आवधिक है $T > 0$ इस तरह के कम से कम एक $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ या $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$ हर वास्तविक के लिए एक पूर्णांक है $t.$
जबसे $T \neq 0$, यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट होना चाहिए कि कुछ होगा $t$ ऐसा है कि उन अभिव्यक्तियों में से कोई भी एक पूर्णांक नहीं देता है, यह दर्शाता है $x(t)$ आवधिक नहीं है।
इसे साबित करने के लिए, ध्यान दें कि, प्रत्येक पूर्णांक के लिए $k$, एक अद्वितीय वास्तविक है $t$ ऐसा है कि $\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$ और अधिकतम दो वास्तविक संख्याओं पर $t$ ऐसा है कि $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$ चूँकि वहाँ बहुत सारे पूर्णांक हैं, वहाँ बहुत सारे हैं $t$ इस तरह के कम से कम एक $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ या $\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$एक पूर्णांक है। चूंकि बेशुमार वास्तविक संख्याएं हैं, इसलिए कुछ वास्तविक होना चाहिए$t$ ऐसा है कि न तो अभिव्यक्ति एक पूर्णांक देता है।
जैसा कि मैंने ऊपर उल्लेख किया है, यह दिखाता है $x(t)$ आवधिक नहीं है।
दूसरी ओर, हम उदाहरण के लिए सेट कर सकते हैं $T=8$ यह देखने के लिए $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ जब भी एक पूर्णांक होता है $t$ एक पूर्णांक है, दिखा रहा है $x[n]$ आवधिक है।
चलो $x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$। अगर$x(t)$ के साथ आवधिक है $T$ तब मौजूद है $T \gt 0$ ऐसा है कि $x(t) = x(t+T)$ सबके लिए $t \in \mathbb{R}$। तो इस मामले में हमारे पास है$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$अगर $t = 0$ तब फिर $\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$। दोनों पक्षों को अलग करना और जाने देना$t = 0$ अपने पास $$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$ का मतलब है $T = 0$ या $\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$। पहले मामले की अनुमति नहीं है इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$। अगर हम दो बार अंतर करते हैं और फिर से करते हैं$t = 0$ तब फिर $$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$ परिणामों के संयोजन से होता है $T = 0$ जिसके अनुसार अनुमति नहीं है $T \gt 0$। यहाँ भेदभाव का उपयोग करने की प्रेरणा है$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$ जो हमें पाने में मदद करता है $T$ के बाहर $\cos$कार्य करता है और एक विरोधाभास तक पहुँचता है। बेशक, ब्रायन का जवाब बहुत अधिक सुरुचिपूर्ण है और इसके लिए व्युत्पन्न गणना की आवश्यकता नहीं है।