$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$ का तात्पर्य $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$
लश्कर $f$ एक Lebesgue औसत दर्जे का कार्य हो $[0,1]$ साथ से $f(x)>0$लगभग हर जगह
मान लीजिए कि$\{E_k\}_k$ में लेब्स लीग औसत दर्जे का सेट का एक क्रम है $[0,1]$ ऐसा है कि $$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$$ वो दिखाओ $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$
माय ऑब्जर्वेटिंस:
लेट$A_n=\bigcup\limits_{k=1}^n E_k$
फिर $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$एक औसत दर्जे का संग्रह है जो मापने योग्य सबसेट को बढ़ाता है। तथा$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n$
के रूप में भी $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ सेट का एक बढ़ता हुआ क्रम है, हमारे पास है $$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n}f(x)dx=\int\limits_{\bigcup A_n}f$$
इसके अलावा हमारे पास अलग से है
$\begin{align} m(\bigcup E_n)&= m(\bigcup A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(\bigcup\limits_{k=1}^n E_k)\\ \end{align}$
लेकिन मैं यह नहीं देख सकता कि अंतिम उत्तर पर पहुंचने के लिए इन विवरणों का उपयोग कैसे किया जाए।
आपकी सहायता की सराहना
जवाब
लश्कर $B_n=\{x\mid f(x)>1/n\}$। फिर प्रत्येक$B_n$ एक औसत दर्जे का सेट है और $B=\cup B_n$अनुमान से 1 माप है। अब का उपाय$E_k\cap B_n$ जाता है $0$ जैसा $k\to \infty$ हर एक के लिए $n$। इसलिए$$\lim_{k\to \infty} m(E_k\cap B)=\lim_{k\to \infty} m(E_k)=0.$$