मल्टीसेट का सामान्यीकरण
किसी के लिए साबित करो $c,d \in \mathbb{R}$ तथा $k\in\mathbb{N}, \left({c+d\choose k}\right) = \sum_{j=0}^k \left({c\choose j}\right) \left({d\choose k-j}\right).$
मुझे पता है कि मुझे कैसे दिखाना है ${a+b\choose k} = \sum_{j=0}^k {a\choose j}{b\choose k-j}$ के लिये $a,b\in \mathbb{R}$एक बीजीय प्रमाण का उपयोग करना, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि इस के मल्टीसेट संस्करण को कैसे दिखाया जाए। मुझे पता है$\left({n\choose k}\right) = {n+k-1\choose k}$। लेकिन अगर हमने जोर दिया$c,d\in\mathbb{N},$मुझे लगता है कि मैं एक जुझारू सबूत के साथ आने में सक्षम हो सकता हूं। चलो$S$ का सेट निरूपित करें $j$-मूलिसेत (आकार का) $j$) का $[1,\cdots, c+d]$। चलो$C_j$ आकार के मल्टीसेट के सेट को निरूपित करें $j$ से $[1,\cdots, c]$ तथा $D_{k-j}$ आकार के मल्टीसेट के सेट को निरूपित करें $k-j$ से $[c+1,\cdots, c+d]$। चलो$E_j$ का सेट निरूपित करें $k$-मूलटिस से $[1,\cdots, c+d]$ साथ से $j$ तत्वों से $[1,\cdots, c].$ कि प्रत्येक का निरीक्षण करें $E_j$ असहमति है, और $S = \cup_{j=0}^k E_j\Rightarrow |S| = \sum_{j=0}^k |E_j|\tag{1}.$ इसके अलावा, एक आक्षेप को परिभाषित करना मुश्किल नहीं है $f : E_j \to C_j \times D_{k-j}.$ जबसे $|C_j| = \left({c\choose j}\right)$ तथा $|D_{k-j}| = \left({d\choose k-j}\right)$ तथा $ |E_j| = |C_j||D_{k-j}|$, इन परिणामों को प्रतिस्थापित कर रहा है $(1)$वांछित समानता देता है। लेकिन निश्चित रूप से, यह केवल काम करता है$c,d\in \mathbb{N}.$
जवाब
तय के लिए $k\in\Bbb N$ भाव
$$p(c,d)=\left(\!\!\binom{c+d}k\!\!\right)-\sum_{j=0}^k\left(\!\!\binom{c}j\!\!\right)\left(\!\!\binom{d}{k-j}\!\!\right)$$
में एक बहुपद है $c$ तथा $d$। अगर हम ठीक करें$c\in\Bbb N$, यह एक बहुपद बन जाता है $d$। या तो यह बहुपत्नी पहचान है$0$, या इसमें केवल बहुत सारे शून्य हैं। क्योंकि यह है$0$ प्रत्येक के लिए $d\in\Bbb N$, यह पहचान होना चाहिए $0$। इस प्रकार,$p(n,d)=0$ प्रत्येक के लिए $n\in\Bbb N$ तथा $d\in\Bbb R$। लेकिन अब हम पकड़ सकते हैं$d$ निश्चित और दृश्य $p(c,d)$ में एक बहुपद के रूप में $c$, और इसी तर्क से कि बहुपत्नी को पहचानना चाहिए $0$। इस प्रकार,$p(c,d)=0$ सबके लिए $c,d\in\Bbb R$।
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{\mbox{Prove that for any}\ c,d \in \mathbb{R}\ \mbox{and}\ k\in\mathbb{N}, \left(\!{c + d \choose k}\!\right) = \sum_{j = 0}^{k}\left(\!{c\choose j}\!\right) \left(\!{d\choose k - j}\!\right)}:\ {\Large ?}}$।
\begin{align} &\bbox[#ffd,5px]{\sum_{j = 0}^{k}\left(\!{c\choose j}\!\right) \left(\!{d\choose k-j}\!\right)} = \sum_{j = 0}^{k}{c^{\,\large\overline{j}} \over j!} {d^{\,\overline{k - j}} \over \pars{k - j}!} \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \sum_{j = 0}^{k}{k! \over j!\pars{k - j}!} {\Gamma\pars{c + j}\Gamma\pars{d + k - j} \over \Gamma\pars{c + d + k}} \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \sum_{j = 0}^{k}{k \choose j}\int_{0}^{1}t^{c + j - 1} \pars{1 - t}^{d + k - j - 1}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!}\int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d + k - 1} \sum_{j = 0}^{k}{k \choose j}\pars{t \over 1 - t}^{j}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d + k - 1}\, \pars{1 + {t \over 1 - t}}^{k}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d - 1}\,\dd t \\[5mm] = &\ \require{cancel} {\pars{c + d + k - 1}! \over \cancel{\pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}} \,{1 \over k!} \bracks{\cancel{\pars{c - 1}!\pars{d - 1}!} \over \pars{c + d - 1}!} = {c + d + k - 1 \choose k} \\[5mm] = &\ \bbx{\large\left(\!{c + d \choose k}\!\right)} \\ & \end{align}