Milnor & Stacheff में प्रश्न - विशेषता वर्ग, चेरन क्लासेस का निर्माण

Question

निम्नलिखित पैराग्राफ को पुस्तक से निकाला गया है:

अब हम एक जटिल के लिए विशेषता वर्गों की एक प्रेरक परिभाषा देंगे $n$-प्लेन बंडल $\omega=(\pi: E\to M)$। यदि पहले एक विहित निर्माण करने के लिए आवश्यक है$(n-1)$-प्लेन बंडल $\omega_0$ हटाए गए कुल स्थान पर $E_0$। ()$E_0$ में सभी नॉनज़रो वैक्टर के सेट को दर्शाता है $E$।) में एक बिंदु $E_0$ एक फाइबर द्वारा निर्दिष्ट किया गया है $F$ का $\omega$ साथ में नॉनजरो वेक्टर $v$उस फाइबर में। पहले मान लीजिए कि एक हर्मिटियन मीट्रिक पर निर्दिष्ट किया गया है$\omega$। तब का फाइबर$\omega_0$ परिभाषा के अनुसार, ऑर्थोगोनल पूरक है $v$ वेक्टर अंतरिक्ष में $F$। यह आयाम का एक जटिल वेक्टर स्थान है$n-1$, और इन वेक्टर रिक्त स्थान को स्पष्ट रूप से एक नए वेक्टर बंडल के तंतुओं के रूप में माना जा सकता है $\omega_0$ ऊपर $E_0$।

प्रश्न: मुझे समझ में आया कि कुल स्थान कैसा है $\omega_0$परिभषित किया। लेकिन कुल स्थान की टोपोलॉजी को कैसे परिभाषित किया गया है? इसके बारे में कोई उल्लेख नहीं है।

Answer 1

निम्नलिखित मैपिंग पर विचार करें:

$\require{AMScd}$ \ start {CD} \ pi ^ * E @ >>> E \\ @V \ bar \ p \ VV @VV \ pi V \\ E @ >> \ pi> M \ end {CD}

जो एक पुलबैक बंडल को प्रेरित करता है $\bar \pi : \pi^*E \to E$, जहां प्रत्येक के लिए $v\in E$, $$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$ (वह है, फाइबर सिर्फ फाइबर है $F_x$, कहां है $x = \pi(v)$) का है। $\pi^*E$पुलबैक बंडल की टोपोलॉजी दी गई है। जबसे$E_0$ का सबसेट है $E$प्रतिबंध एक बंडल देता है

$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$

और बंडल $\omega_0$पुस्तक में निर्मित (1) का एक उप-बंडल है। प्लस में (1) द्वारा दिया गया उप-टोपोलॉजी है।