पहला एचके प्रमेय और दूसरा एचके प्रमेय के बीच क्या संबंध है?

Question

पहला होहेनबर्ग-कोन (एचके) प्रमेय : बाहरी क्षमता$v(\vec{r})$ जमीन-राज्य इलेक्ट्रॉन घनत्व द्वारा एक तुच्छ योजक स्थिरांक के भीतर निर्धारित किया जाता है $\rho(\vec{r})$।

बुनियादी क्वांटम यांत्रिकी से, हम जानते हैं कि: $v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$। पहले एचके प्रमेय के लिए Accoridng, हम आगे यह जान सकते हैं$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$। संक्षेप में, पहला एचके प्रमेय बाहरी क्षमता और जमीन-राज्य घनत्व के बीच एक-से-एक मानचित्रण साबित करता है$\rho$ कई-इलेक्ट्रॉन प्रणालियों में।

दूसरा एचके प्रमेय : घनत्व का एक सार्वभौमिक कार्य मौजूद है,$F_{HK}[\rho']$, ऐसा किसी के लिए $N$-प्रतिस्पर्धी घनत्व ($\textit{i.e.}$, कोई घनत्व जो कुछ तरंग से आता है a $N$-इलेक्ट्रॉन सिस्टम) $\rho(\vec{r})$, जो किसी दिए गए इलेक्ट्रॉनों की संख्या देता है $N$, ऊर्जा कार्यात्मक है, $$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$ जिसमें $E_g$ जमीन-राज्य ऊर्जा है और घनत्व जब घनत्व रखता है $\rho'(\vec{r})$ है, संभवतः पतित, ज़मीनी घनत्व $\rho_0'(\vec{r})$ बाहरी क्षमता के लिए $v(\vec{r})$।

दो बयानों से, मैं दो प्रमेयों के बीच कोई संबंध नहीं देख सकता। तो दो प्रमेयों के बीच क्या संबंध है? अगर$F_{HK}(\rho')$जमीन-राज्य घनत्व का कार्यात्मक है, मैं दो प्रमेयों के बीच संबंध बना सकता हूं। लेकिन में घनत्व$F_{HK}[\rho]$ जमीन-राज्य घनत्व आवश्यक नहीं है।

• पहले एचके प्रमेय के बारे में: http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
• दूसरे एचके प्रमेय के बारे में: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub

Answer 1

आपके अंकन का उपयोग करते हुए, सार्वभौमिक कार्यात्मक के लिए परिभाषा है

$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$

कहां है $\hat{T}$ तथा $\hat{W}$क्रमशः गतिज और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन संपर्क ऑपरेटर हैं। घनत्व और उनकी संगत जमीन तरंग तरंगों के बीच एक-से-एक मानचित्रण के कारण यह परिभाषा संभव है (अर्थात, क्योंकि$\psi_0$ का एक कार्यात्मक है $\rho$), जो मुझे विश्वास है कि कनेक्शन आप चाहते हैं।

Answer 2

एक औपचारिक संबंध यह है कि पहले प्रमेय का उपयोग दूसरे के प्रमाण में किया जाता है। दरअसल, दूसरा उस सिद्धांत का अनुवाद है जो$E[\Psi']$ सही जमीन राज्य लहर समारोह में एक न्यूनतम है $\Psi$, एक-से-एक पत्राचार का उपयोग करते हुए $\rho \leftrightarrow \Psi$ पहले प्रमेय से जाना जाता है।

व्युत्पत्ति कोहन और होहेनबर्ग (भाग I-2) द्वारा मूल पेपर में पाई जा सकती है । यह पढ़ने में काफी छोटा और आसान है, इसलिए यह देखने लायक है।