$\pi_1(\text{P}^2(\mathbb{R}))$ और गुणा $2$
मैं वास्तविक प्रक्षेप्य विमान के मूल समूह की गणना करना चाहता हूं $\text{P}^2(\mathbb{R})$ SVK प्रमेय का उपयोग करना।
यह अंत करने के लिए, मैं मॉडल का चयन करता हूं $\text{P}^2(\mathbb{R})\simeq D^2/{\sim} $ इकाई डिस्क के रूप में $\{x:\|x\|\leq 1\}$ में $\mathbb{R}^2$ सीमा पर पड़े एंटिपोडल बिंदुओं की पहचान करके भागफल।
मै लेता हु
- $A= \text{P}^2(\mathbb{R})-\{y\} $
- $B= \text{P}^2(\mathbb{R})-\partial$, कहाँ पे $\partial=\{x:\|x\|=1\}$
- $A\cap B$
जो सभी पथ से जुड़े हुए हैं।
अब, एक बिंदु को ठीक करें $x_0 \in A\cap B.$
$A$ को विरूपण द्वारा वापस लाया जा सकता है $S^1$, ताकि $A \approx S^1$ तथा $\pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}.$ पीछे हटना $r_A:A \to S^1$ एक समरूपता उत्पन्न करता है $\pi_1(A,x_0)\simeq\pi_1(S^1,r_A(x_0)) \simeq \mathbb{Z}$ जिसके द्वारा दिया गया है $[\lambda]_A \mapsto [r_A \circ \lambda]_{S^1}$ हर पाश के लिए $\lambda$ में $A.$
अगर मैं बुलाऊं $c$ के अनुरूप पाश $1 \in \mathbb{Z}$ समरूपता के तहत, मेरे पास समानता है $\pi_1(S^1,r_A(x_0)) = \langle c | \emptyset \rangle $; विकृति, एक रास्ता दे रही है$h :t \mapsto h(t)=H(x_0,t)$ से $x_0$ सेवा $r(x_0),$ एक प्रस्तुति भी देता है $\pi_1(A, x_0) = \langle hch^{-1},\emptyset \rangle $, जहां हम अब जनरेटर को एंडपॉइंट के साथ लूप के रूप में देख सकते हैं $x_0$ के बजाय $r(x_0).$
दूसरी ओर, $B$ को अनुबंधित किया जा सकता है $\{x_0\},$ इसलिए $$\pi_1(B,x_0) \simeq \pi_1(\{x_0\},x_0)=\{x_0\} \simeq \{\text{id}\}= \langle \emptyset | \emptyset \rangle.$$
अंत में, एक और सर्कल चुनना $S^1_{x_0}$ के माध्यम से गुजरते हुए $x_0$, मैं पीछे हट गया $A \cap B$ यह करने के लिए इतना है कि $$\pi_1(A\cap B, x_0)\simeq \pi_1(S^1_{x_0},x_0)= \langle \gamma| \emptyset \rangle.$$
समावेश $A \cap B \subset B$ एक रूपवाद लाती है $b_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(B,x_0)$ जो केवल तुच्छ नक्शा हो सकता है जो निरंतर पथ पर सब कुछ भेज रहा है $x_0.$
अगला, समावेशन $A \cap B \subset A$ समूहों का एक रूपवाद प्रेरित करता है $a_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(A,x_0)$ के द्वारा दिया गया $[\ell]_{A\cap B} \mapsto [\ell]_A$ हर पाश के लिए $\ell$ में $A \cap B$ समापन बिंदु के साथ $x_0.$
मैं यह समझना चाहता हूं कि नक्शे को कैसे साबित किया जाए $a_*$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है दो से गुणा करना होगा $- \cdot 2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$
जवाब
रूपवाद $a_*$ एक लूप लेता है $[\ell]_{A\cap B}=\gamma^n \in \pi_1(A\cap B,x_0)$ और इसे इसी लूप में भेजता है $\pi_1(A,x_0),$ जो कि, नक्शा शामिल किए जाने से प्रेरित है, बस है $[\ell]_A$, (अर्थात $\ell$ में modulo समरूपता $A$)।
अब हम देखते हैं $[\ell]_A$ के भीतर $\pi_1(S^1,r_A(x_0))$ isomorphism के माध्यम से $[\ell]_A \mapsto [r_A \circ \ell]_{S^1}$, और हमारे पास है $[r_A \circ \ell]_{S^1}=c^{2n},$ क्योंकि सीमा पर एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान हो जाती है, और इसलिए हम बाहरी सर्कल के चारों ओर दो बार जाते हैं $[r_A \circ \ell (1/2)]=[-r(x_0)]=[r(x_0)]$ (यहां समतुल्यता वर्ग अंक के हैं $S^1$)।
पीछे खींचना $\pi_1(A,x_0)$ हमें मिला $[\ell]_A=[hc^{2n}h^{-1}=(hch^{-1})^{2n}]_A$ और हम निष्कर्ष निकालते हैं।
लश्कर $i:S^1\to D^2$ सीमा का समावेश हो $p:D^2\to P^2(\mathbb R)$ विहित प्रक्षेपण।
विशेष रूप से, $p\circ i: S^1\to P^2(\mathbb R)$ के माध्यम से कारक $\partial$ (और इस प्रकार के माध्यम से $A$, लेकिन समावेश $\partial \to A$एक समरूपता समतुल्य है); चलो कॉल करो$\alpha :S^1\to\partial$ हमें जो नक्शा मिलता है।
हम जानते हैं कि $\partial \cong S^1$, तो क्या नक्शा है $\alpha_* : \mathbb Z\to \mathbb Z$ ?
वैसे आपके पास निम्नलिखित कम्यूटेटिव आरेख हैं:
$\require{AMScd}\begin{CD}S^1@>>> S^2 \\ @VVV @VVV \\ \partial @>>> P^2(\mathbb R)\end{CD}$
नक्शा कहां है $\partial \to P^2(\mathbb R)$समावेश है। अगर हम पहचान कर लें$\partial \cong S^1$, नक्शा $S^1\to S^1$ सादा है $z\mapsto z^2$: यह एक स्पष्ट गणना है जिसे आप कर सकते हैं। शायद यह वास्तव में परिभाषित करना आसान है$\partial$ इस तरह, और जाँच लें कि आपको एक ही चीज़ मिलती है।
मुझे लगता है कि यह मुख्य बिंदु हो सकता है जो आपके लिए स्पष्ट नहीं था, इसलिए यदि यह अभी भी नहीं है, तो मुझे बताने में संकोच न करें।
विशेष रूप से, $\alpha_*=$ द्वारा गुणा करना $2$।
लेकिन, $i$ के समावेश के लिए समरूप है $S^1$ में एक छोटे वृत्त पर $D^2$, और इसीलिए $p\circ i$ एक होमियोमॉर्फिज्म के लिए समरूप है $S^1\to S^1_{x_0}$।
तो आपके पास निम्नलिखित होमोटॉपी कम्यूटेटिव डायग्राम है:
$\begin{CD} S^1 @>>> S^1_{x_0} @>\simeq>> A\cap B \\ @V=VV & & @VVV \\ S^1 @>>> \partial @>\simeq>> A \end{CD}$
ले रहा $\pi_1$, जबसे $\pi_1(S^1)\to \pi_1(S^1_{x_0})$ एक समरूपता और है $\pi_1(S^1)\to \pi_1(\partial)$ द्वारा गुणा किया जाता है $2$, हम अंत में मिलता है $\pi_1(A\cap B)\to \pi_1(A)$ द्वारा गुणा किया जाता है $2$।
(तकनीकी रूप से आपको बेसपेक के बारे में चिंता करने की आवश्यकता हो सकती है: यहां इससे निपटने के कम से कम दो तरीके हैं: 1- ध्यान दें कि इसमें शामिल सभी मूलभूत समूह एबेलियन हैं, और इसलिए यह कुछ भी नहीं बदलता है; या 2- समान तर्क करना लेकिन मौलिक समूह के साथ, और अंत में चीजें पैच अप)
मूल विचार इस प्रकार है, मुझे लगता है कि मैं आपके समान एक सबूत ले जाऊंगा, इसलिए मेरे साथ सहन करें।
जैसा कि आपने किया था, अनुमानित विमान पर विचार करें $X$ और एक बिंदु ले लो $x_0$इस में। फिर$U = X\smallsetminus x_0$ विरूपण क्षेत्र में पीछे हट जाता है।
एक छोटी गेंद लें $V$ चारों ओर $x_0$, ताकि $V\cap U$ विरूपण भी एक क्षेत्र में पीछे हटता है।
अब के लिए $V\cap U$, आपने कोई सीमा बिंदु नहीं पहचाना होगा, लेकिन अंदर $U$सीमा क्षेत्र पर, आप उनकी पहचान करेंगे। इसका निम्न परिणाम है कि आप एक कम्यूटेटिव आरेख बना सकते हैं
$$\require{AMScd} \begin{CD} U\cap V @>{\pi}>> S^1\\ @VVV @VVV \\ U @>{\pi}>>S^1 \end{CD}$$
जहां ऊर्ध्वाधर नक्शा डिग्री का है $2$। अनिवार्य रूप से, यह एक जेनरेटिंग लूप भेजेगा$U\cap V$कि एक बार सीमा के चारों ओर हवाएँ जो एक बार की सीमा के आसपास दो बार हवाएँ होंगी$U$, क्योंकि वहाँ के बाद से आपने एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान की होगी।
जोड़ें। यदि आप अधिक सटीक होना चाहते हैं, तो ध्यान दें कि जनरेटिंग लूप$U$ यूनिट डिस्क में एक लूप होने के लिए ले जाया जा सकता है जो एक आधा चाँद खींचता है, जिससे जा रहा है $-1$ सेवा $1$ लगभग एक सीधी रेखा में मूल और फिर आर्क से गायब। यह देखने के लिए आसान बनाता है कि जनरेटिंग लूप $U\cap V$ पिछले लूप में दो बार प्रतिनिधित्व करेंगे $U$।