Polyakov के 3D कॉम्पैक्ट QED में फ्लक्स का परिमाणीकरण
अपनी पुस्तक "गेज फील्ड्स एंड स्ट्रिंग्स" में पोलाकोव ने 3 डी यूक्लिडियन स्पेस में क्यूबिक जाली पर कॉम्पैक्ट क्यूईडी का परिचय दिया है: $$ S\left[ \left\{ A_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}}\right\} \right]=\frac{1}{2g^2}\sum_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}(1-\cos{F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}}) $$
कहाँ पे $F$ पट्टिका के माध्यम से शुद्ध प्रवाह है जो जालीदार वैक्टर द्वारा फैलाया जाता है $\mathbf{\alpha}$ तथा $\beta$ बिंदु पर $\mathbf{r}$ और इसके द्वारा दिया गया है: $$ F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}=A_{r,\alpha}+A_{r+\alpha,\beta}-A_{r,\beta}-A_{r+\beta,\alpha}$$ कौन सा सहज रूप से कर्ल है $A$पट्टिका के चारों ओर। गेज परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है:$$ A_{r,\alpha}\to A_{r,\alpha}-\phi_{r}+\phi_{r+\alpha} $$जिसके तहत कार्रवाई अपरिहार्य है। एक स्पष्ट परिणाम यह है कि किसी भी बंद गॉसियन सतह के माध्यम से कुल प्रवाह शून्य है। यह सच है क्योंकि:$$\sum_{p\in cube} F_p=0$$जैसा कि प्रत्येक लिंक पर प्रत्येक गेज फ़ील्ड उपरोक्त योग में विभिन्न संकेतों के साथ दो बार दिखाई देता है। तो इस प्रणाली में मोनोपोल होना असंभव है सिवाय डायराक मोनोपोल के जो कि यह मानकर बनाया जा सकता है कि किसी घन के 5 चेहरों के माध्यम से प्रवाह का एक ही चिन्ह होता है जबकि एक चेहरे पर नकारात्मक प्रवाह के साथ शुद्ध प्रवाह होता है जैसे कि कुल प्रवाह शून्य रहता है। ।
लेकिन फिर, वह (पॉलाकोव) कहता है कि यह प्रवाह (जो केवल एक घन के चेहरे से होकर गुजरता है) को परिमाणित किया जाता है। मुझे नहीं पता कि यह कैसे साबित करना है। ऐसा लगता है कि एक विलक्षण गेज परिवर्तन आवश्यक है ('टी हूफ्ट द्वारा एक कागज के अनुसार) और हमें गेज फ़ील्ड को दूसरे (शायद मामले) क्षेत्र में जोड़े जाने की आवश्यकता है, लेकिन मुझे जाली मॉडल में उस परिवर्तन को लागू करने का तरीका नहीं मिल रहा है और यहां तक कि कोई यह भी पूछ सकता है कि हमें युगल क्यों चाहिए$A$स्वतंत्रता की एक और डिग्री के लिए। इस बिंदु का उल्लेख यहां भी किया गया है:https://physics.stackexchange.com/a/202806/90744 बिना किसी प्रमाण के फिर से।
पुस्तक में एक अन्य क्रिया का उपयोग किया गया है, जिसे मूल क्रिया के समतुल्य होने का दावा किया गया है, जो इस प्रकार है: $$ S=\frac{1}{4g^2}\sum_{r,\alpha,\beta}(F_{r,\alpha \beta}- 2\pi n_{r,\alpha \beta})^2 $$ कहाँ पे $n$एक पूर्णांक मूल्यवान क्षेत्र है। सामान्य रूप से यह क्रिया मूल क्रिया के बराबर नहीं है। क्योंकि यहां हम गैर-आवधिकता से विचलन की अनुमति दे रहे हैं$A$ योगदान करने के लिए और इसलिए हम इसे केवल छोटे में उपयोग कर सकते हैं $g$ सीमा।
जवाब
खैर, सवाल के संबंध में, इसे स्टोक्स के प्रमेय के असतत संस्करण से पालन करना चाहिए। क्यूब को छेदने के मामले में, क्यूब को छेदने के मामले में, एक क्यूब पर विचार करें, कोई वैश्विक रूप से गेज क्षमता को निर्दिष्ट नहीं कर सकता है$A_\mu$, केवल स्थानीय रूप से, एक निश्चित चार्ट में। आइए हम क्यूब को दो चार्ट में विभाजित करते हैं, कम से कम भूमध्य रेखा पर अतिव्यापी
उत्तरी और दक्षिणी गोलार्ध। स्टोक्स की प्रमेय के अनुसार लाल लाल सतह के माध्यम से प्रवाह प्रवाह के संचलन के बराबर है$A_\mu$ भूमध्य रेखा के आसपास: $$ \int_{U_N} F d S= \sum_{i \in s} F_i S_i = \oint A_\mu dx^{\mu} = \sum_{i \in l} A_i l_i $$ कहाँ पे $s$ - चार्ट में सभी सतहों को दर्शाता है, और $l$ - भूमध्य रेखा पर रेखा खंड, और $S_i$ - सतह का क्षेत्रफल, $l_i$- खंड की लंबाई। भूमध्य रेखा के अभिन्न अंग में, स्टोक्स के प्रमेय में चयन करने के लिए एक को एकीकृत किया जा सकता है$U_N$ तथा $U_S$, और परिणाम, भौतिक दृष्टिकोण से, सतह की पसंद पर निर्भर नहीं होना चाहिए।
बिंदु कण के लिए क्रिया का विद्युत चुम्बकीय भाग है: $$ S = \oint A_\mu d x^{\mu} $$ बिंदु कण के लिए कार्रवाई के रूप में अभिन्न पथ में प्रवेश करती है $e^{i S}$ इसलिए, के क्रम में $e^{i S}$ एकल-मूल्यवान होने के लिए, उत्तरी और दक्षिणी गोलार्ध पर स्थित प्रवाह को निम्न स्थिति से संतुष्ट करना होगा: $$ \int _{U_N} F = - \int _{U_S} F + 2 \pi n \qquad n \in \mathbb{Z} \qquad \Rightarrow \qquad \int _{U_N \cup U_S} F = 2 \pi n $$
इस तर्क में कठोरता का अभाव है, लेकिन कुछ अंतर्ज्ञान प्रदान कर सकता है। एक और बिंदु, जिसे कोई भी नोट कर सकता है, कि मोनोपोल शास्त्रीय समाधान हैं - क्रिया की मिनीमा, और क्रिया से, कोई भी देख सकता है:$$ \cos F_{r, \alpha \beta} = 1 \Rightarrow F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $$ तो सभी चेहरों पर योग, मात्रा निर्धारित किया जाएगा।
कार्रवाई, जो आपने अपनी पोस्ट के अंत में लिखी है, एक विलेन या गाऊसी मूल कार्रवाई का अनुमान है, जो मानता है कि गेज क्षेत्र के उतार-चढ़ाव मिनिमा के करीब हैं$F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n$, और दूसरे आदेश को कोसाइन के विस्तार द्वारा प्राप्त किया जाता है: $$ 1 - \cos F_{r, \alpha \beta} = \frac{1}{2} (F_{r, \alpha \beta} - 2 \pi n_{r, \alpha \beta})^2 $$