पोर्टफोलियो जोखिम में एक सहसंयोजक तत्व की व्याख्या और इकाइयाँ
दिए गए पोर्टफोलियो जोखिम है $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ कहाँ पे $\boldsymbol{\Sigma}$ सहसंयोजक मैट्रिक्स है जिसका विकर्ण तत्व $\sigma^2_{n}$ व्यक्तिगत परिसंपत्ति वापसी संस्करण हैं और जिनके ऑफ-डायगोनल तत्व संपत्ति के जोड़ी-वार सहसंयोजक हैं, $\sigma_{n,\neg n}$
तत्व की व्याख्या क्या है $\sigma_{1,2}$ में $\boldsymbol{\Sigma}$, और आप इसकी इकाइयों का वर्णन कैसे करेंगे?
अगर $\sigma_{1,2}=0.1$ निम्नलिखित कहना सही होगा?
"एसेट में मूवमेंट 1 रिटर्न पर औसत सह-भिन्नता, एसेट 2 रिटर्न आंदोलनों के साथ 10% मानक विचलन और इसके विपरीत"
जवाब
व्याख्या और इकाइयों की समस्या, यानी आसानी से सहज उत्तर की कमी, ठीक यही कारण है कि क्वेंट / इकोनोमेट्रिशियन आदि कोविर्स के बारे में बहुत अधिक बात करने से कतराते हैं [भले ही वे बिल्कुल आवश्यक हों; और अक्सर इस्तेमाल किया जाता है]। इस प्रकार यदि सहसंयोजकों में शामिल किसी भी चीज़ की व्याख्या की जाती है, तो अकेले समझा दें, डिफ़ॉल्ट आमतौर पर सहसंबंध के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसमें सहज इकाइयां होती हैं: 0 = स्वतंत्रता के साथ बंधी [-1,1], आदि।
Cor (1,2) = Cov (1,2) / (sd (1) * sd (2))
Cov (1,2) = Cor (1,2) * sd (1) * sd (2)
तो यहां "इकाइयां" तीन उपायों का एक उत्पाद मिश्रण है, जिनमें से प्रत्येक अपनी इकाइयों के साथ है: दो अस्थिरताएं और एसोसिएशन का एक बंधा हुआ उपाय। जैसे, वे मौजूद हैं, लेकिन एक सहज व्याख्या की कमी है।
निकटतम कार्य वह कर सकता है, जो कि 1 व 2 के उत्पाद में प्रति यूनिट परिवर्तन में सीमांत परिवर्तन पोर्टफोलियो में मामूली परिवर्तन के रूप में सहसंयोजक को व्यक्त करता है; जो अत्यधिक विनम्र रहता है, विनम्र;;
यह भी याद रखें कि पारंपरिक OLS बीटा को निम्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
बीटा (1 | 2) = कोव (1,2) / वार (2) = ई (डी 1) / डी 2
ई (डी 1) = कोव (1,2) * डी 2 / वार (2)
इसलिए Asset2 में +1 के एक परिवर्तन का Asset1 पर इसके विचरण प्रभाव से विभाजित +0.1 है। जो यह कहते हुए समान है कि एसेट 2 में एक +1 सिग्मा चाल एसेट 1 पर अपने मानक विचलन द्वारा 0.1 विभाजित है। जो कहावत के समान है (जहां Z = 1 एक सिग्मा झटका है):
d1 / d2 = कोव (1,2) / वार (2)
d1 / z2 = कोव (1,2) / एसडी (2)
z1 / z2 = कोव (1,2) / (SD (1) * SD (2)) = Cor (1,2)!
तो जिस तरह का बयान आप ऊपर देने की कोशिश करते हैं, वह आपके सहसंयोजक (सहज) यूनिटलेस सहसंबंधों में अनुवाद करने के लिए सहज ज्ञान युक्त अवशेषों को बनाने का प्रयास करता है। 1 या 2 में से किसी एक सिग्मा मूव में दूसरे पर मार्जिन कोर (1,2) सिग्मा प्रभाव होगा।
हालाँकि, आप यह दृष्टिकोण करते हैं, आपको हमेशा किसी भी सहज व्याख्यात्मक परिणाम को उत्पन्न करने के लिए एक अतिरिक्त मीट्रिक (अपनी स्वयं की इकाइयों के साथ, चाहे निरपेक्ष रिटर्न, वॉल्यूम-समायोजित रिटर्न, या भार) के माध्यम से सहसंयोजक को संसाधित करने की आवश्यकता है। पोर्टफोलियो जोखिम की भविष्यवाणी करने के लिए पारंपरिक w.Cov.w सूत्रीकरण कुशल है; लेकिन जब व्याख्या और स्पष्टीकरण की बात आती है, तो यह बड़े समय तक विफल रहता है। यही कारण है कि प्रकाशन अनिवार्य रूप से संबद्ध सहसंबंध मैट्रीस को वरीयता में दर्शाते हैं। दो हमेशा आपको एक ही आउटपुट / पूर्वानुमान देंगे; अंततः दोनों के बीच की पसंद बनाम व्याख्या का एक सवाल बनाम व्याख्या (अर्थात प्रकृति में प्रस्तुतिकरण)।
तो चलिए मान लेते हैं कि पोर्टफोलियो पूरी तरह से कंसोल या सिंगल पीरियड डिस्काउंट बॉन्ड से बना है। यह इक्विटी के लिए संदिग्ध होगा क्योंकि$$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ तथा $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$यदि आप लाभांश के प्रभाव को अनदेखा करते हैं। यह दो अनुपात के वितरण का उत्पाद वितरण लौटाता है। सीएपीएम जैसे मॉडल यह मानकर इस मुद्दे से बच जाते हैं कि सभी पैरामीटर ज्ञात हैं और कोई भी अनुमान नहीं लगा रहा है। हल्के अनुमानों के तहत, इन रिटर्न में लॉग स्पेस में भी परिभाषित कोवरियन मैट्रिक्स नहीं होगा।
हालांकि, आपके प्रश्न के संबंध में, उस पैरामीटर को याद रखना महत्वपूर्ण है जैसे कि $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$फ़्रीक्वेंटिस्ट सिद्धांत में निश्चित बिंदुओं के रूप में सोचा जाता है। सीएपीएम जैसे मॉडल एक बायेशियन अंतरिक्ष में काम नहीं करते हैं क्योंकि पैरामीटर यादृच्छिक चर हैं।
तो, आपके प्रश्न के उत्तर में, की इकाइयाँ $\sigma_{i,j}$संयुक्त रूप से संयुक्त उम्मीद से प्रत्यक्ष रूप से हस्ताक्षरित वर्ग अतिरिक्त / घाटा रिटर्न में हैं। इसे दिशा वाले क्षेत्र के रूप में सोचा जा सकता है।
हमेशा की व्याख्या को विचरण द्वारा ध्यान दिया जाता है $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$
@develarist: मैंने कुछ और पढ़ा और यह इस तरह से चलता है। (सीएपीएम के संबंध में इस बारे में बात नहीं कर रहे हैं और न ही डेव के साथ आपकी वर्तमान चर्चा पर टिप्पणी कर रहे हैं)। मान लो तुम्हारे पास है$\sigma_{(1,2)}$ जो स्टॉक 1 और स्टॉक 2 के कोवरियन (रिटर्न का) को दर्शाता है $x$ स्टॉक 1 के रिटर्न (नमूने में) के रूप में और $y$ स्टॉक 2 के रिटर्न (नमूने में) के रूप में।
व्याख्या की ओर पहला कदम उठाना है $\sigma_{(1,2)}$ और इसे स्टॉक 1 के रिटर्न के सैंपल वेरिएंट से विभाजित करें। इसे कॉल करें $\beta_{(1,2)}$। फिर, एक बार जब आप ऐसा करते हैं,$\beta_{(1,2)}$ गुणांक के रूप में व्याख्या की जा सकती है (अवरोधन नहीं। अन्य एक) स्टॉक 1 के रिटर्न के एक साधारण प्रतिगमन स्टॉक 2 के स्टॉक रिटर्न बनाम जहां स्टॉक 2 के रिटर्न प्रतिक्रिया हैं ($y$) और स्टॉक 1 का रिटर्न भविष्यवक्ता है ($x$)।
यह तथ्य कि $\sigma_{(1,2)}$0.1 वास्तव में बहुत ज्यादा मायने नहीं रखता है, क्योंकि इसे प्रतिगमन व्याख्या का वर्णन करने के लिए स्टॉक 1 के स्टॉक रिटर्न के नमूना संस्करण द्वारा विभाजित किया जाना है। बेशक, अगर स्टॉक 1 के रिटर्न का सैंपल वेरिएशन 1.0 हुआ, तो कोई कोविर्स की अनुमानित राशि के रूप में व्याख्या कर सकता है कि स्टॉक 1 की वापसी में प्रत्येक यूनिट के लिए स्टॉक 2 की वापसी बढ़ जाती है।
ध्यान दें कि मैं अपने मूल पद (जो मुझे भ्रमित करता है) में उल्लिखित विरोधाभास मौजूद नहीं है क्योंकि अगर हमने प्रतिगमन को फ़्लिप किया और स्टॉक 1 का रिटर्न (x) प्रतिसाद और स्टॉक 2 का रिटर्न (y) पूर्वसूचक बनाया, तो एक कोविर्सियस को विभाजित करने की आवश्यकता होगी, $\sigma_{(1,2)}$स्टॉक 1 के रिटर्न (x) के नमूना विचरण के बजाय स्टॉक 2 के रिटर्न (y) के नमूना संस्करण द्वारा। तो, परिभाषा में कोई असंगति नहीं है। मुझे उम्मीद है कि इससे चीजें स्पष्ट होंगी।
ओह, यह भी, जहाँ तक मैं बता सकता हूँ, वहाँ भी कोविरेसी और प्रतिगमन के आर ^ 2 के बीच कोई संबंध नहीं लगता है जो मैंने गलती से सोचा था। वहां की उलझन के लिए मेरी माफी।