R- मॉड्यूल्स के Tensor Product के बारे में उलझन
डिफरेंशियल ज्योमेट्री पर टीयू की पुस्तक में उन्होंने पहली बार परिभाषित किया $Free(V\times W)$ जैसा:
$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ जहां योग परिमित है।
जिस तरह से मैं समझता हूं कि यह उपरोक्त निर्माण औपचारिक संयोजन है और मॉड्यूल की वास्तविक संरचना को भूल जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि$v_1+v_2 = v_3$, यह सच नहीं है कि में $Free(V\times W)$ उस $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$
अब टेंसर उत्पाद बनाने के लिए हम सबमॉड्यूल द्वारा भागफल देते हैं, $S$ फार्म के तत्वों द्वारा प्रायोजित: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ तब हमारे पास उत्पाद से लेकर दसवें उत्पाद तक का नक्शा होता है, $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$
हालांकि, यदि $v_3 = v_1 + v_2$, तो मैं यह नहीं दिखा सकता $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ अगर ऐसा होना चाहिए $\otimes$एक
मॉड्यूल समरूपता
बिलिनियर मानचित्र है।
जवाब
जबसे $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ तथा $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ शर्त $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ हमें बताता है कि $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ जो जैसा है वैसा है $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$। यह भी देखें कि अन्य संबंध जो परिभाषित करते हैं$S$ हमें देता है \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}
याद है कि अगर $M$ एक $R$-मॉड्यूल और $S$ का एक सबमॉड्यूल है $M$भागफल $M/S$ द्वारा परिभाषित किया गया है $M/\!\sim$, कहां है $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ इस मामले में, समतुल्यता वर्ग $m \in M$ द्वारा दिया गया है $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (इसलिये $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$), और हम एक परिभाषित करते हैं $R$-मॉडल संरचना में $M/S$ द्वारा द्वारा $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$
अतः पश्चाताप के लिए, मैं उन लोगों के लिए एक उत्तर लिखना चाहता हूं, जिन्हें समान भ्रम हो सकता है। जैसा @KCd ने स्पष्ट किया, के तत्व$Free(V\times W)$ फार्म के हैं,
$$\sum r_i(v_i, w_i)$$
हालाँकि अगर हम किसी विशेष तत्व को लिखते हैं $Free(V\times W)$ जैसा $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ तथा $v_3 = v_1 + v_2$ तब फिर $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ दूसरे शब्दों में, हमारे अंकन में हमारे कोष्ठक के अंदर हम औपचारिक रकम नहीं ले रहे हैं, बल्कि मॉड्यूल के तत्वों को जोड़ रहे हैं जैसा कि सामान्य रूप से होता है।