रचनात्मक रूप से एम्बेड करना $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ जांच $\mathbb{R}$

Question

पसंद के स्वयंसिद्ध प्रयोग से यह सिद्ध होता है कि $\mathbb{R}$ isomorphic है $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ एक सदिश स्थान के रूप में $\mathbb{Q}$। (एसी की मानें, तो दोनों जगहों पर एक Hamel आधार है$\mathbb{Q}$ एक ही कार्डिनैलिटी का और इस प्रकार आइसोमॉर्फिक है।)

तो मेरा सवाल यह है कि क्या इस तरह के बीच एक आइसोमोर्फिज्म है $\mathbb{R}$ तथा $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ एसी के बिना या कम से कम निर्माण किया जा सकता है, चाहे हम एम्बेड कर सकते हैं $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ जांच $\mathbb{R}$बिना ए.सी. (एम्बेड करके मेरा मतलब है एक इंजेक्शन का निर्माण करना$\mathbb{Q}$-एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाने का नक्शा।)

उत्तरार्द्ध यह पूछने के बराबर है कि क्या हम एक उप-क्षेत्र का निर्माण कर सकते हैं $\mathbb{R}$ कि एक schauder- आधार पर है $\mathbb{Q}$, जैसे कि एक उप-प्रकार को स्वचालित रूप से आइसोमॉर्फिक होना चाहिए $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$।

सहायता के लिए धन्यवाद!

Answer 1

वास्तव में यह ZF के अनुरूप है कि कोई गैर-संबंधी होमोमोर्फिज्म नहीं हैं $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$। पिछले उत्तर से उद्धृत करना जहां यह आया था:

शेहला द्वारा निर्मित जेडएफ का एक मॉडल है जिसमें वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक सेट में बेयर संपत्ति है । इसका मतलब है, अगर मैं सही ढंग से समझूं, कि कोई गैर-होमोर्फोफिज़्म नहीं हैं$\mathbb{R}$किसी भी गणनीय abelian समूह के लिए (क्योंकि असतत टोपोलॉजी के साथ किसी भी गणनीय abelian समूह एक पोलिश समूह है , इसलिए इस मॉडल में कोई भी समरूपता से है$\mathbb{R}$इस तरह के एक समूह के लिए स्वचालित रूप से औसत दर्जे का है और इसलिए स्वचालित रूप से निरंतर है)। इसलिए$\mathbb{R}$, तथा $SO(2)$, इस मॉडल में गणनीय सूचकांक का कोई उपसमूह नहीं है।

यह एक स्पष्ट एम्बेडिंग की संभावना को खारिज नहीं करता है $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$; मुझे यकीन नहीं है कि एक रास्ता या दूसरा ऐसा है जो मौजूद है, लेकिन मेरे सिर के ऊपर से मैं शर्त लगा सकता हूं कि यह नहीं है। मैं शर्त लगाता हूँ कि यह ZF के साथ संगत है कि हर रैखिक नक्शा$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ इसके कारकों के कुछ परिमित सबसेट के प्रक्षेपण के माध्यम से कारक।