रैखिक बीजगणित - उपसमूह समस्या का आयाम

Aug 16 2020

मुझे यह सवाल गणित विषय की परीक्षा के जीआरई रेखीय बीजगणित खंड पर एक व्याख्यान स्लाइड से मिला, और यह पता नहीं लगा सका।

मान लीजिए $V$परिमित आयाम n का एक वास्तविक वेक्टर स्थान है। से मैट्रिसेस के सेट पर कॉल करें$V$ अपने आप में $M(V)$
चलो$T∈ M(V)$। दो उपप्रजातियों पर विचार करें$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ तथा $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$

निम्नलिखित में से क्या TRUE होना चाहिए?

आई। अगर $V$ का एक आधार है जिसमें केवल eigenvectors शामिल हैं $T$ तब फिर $U=M(V)$

II।$\dim(U) +\dim(W) =n^2$

III।$\dim(U)< n$

मुझे लगता है कि II को गलत होना चाहिए, लेकिन मैं I या III की सच्चाई का पता नहीं लगा सकता। किसी भी मदद की सराहना की है!

जवाब

DoctorWho Aug 16 2020 at 09:30

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1 जरूरी नहीं कि सच हो। लेने के लिए$n = 2$, और जाने $T(e_1) = e_1$ तथा $T(e_2) = 2e_2$। चलो$X$ श्रेष्ठ $X(e_1) = e_1$ तथा $X(e_2) = e_1 + e_2$। फिर$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, लेकिन आ $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$। फिर$TX \neq XT$

2 सत्य है। रेखीय मानचित्र पर विचार करें$f: M(V) \to M(V)$ भेजना $X$ सेवा मेरे $TX - XT$। तब हम लिख सकते हैं$W = \im(f)$ तथा $U = \ker(f)$। फिर रैंक-शून्यता प्रमेय द्वारा,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$

3 जरूरी नहीं कि सच हो। लेने के लिए$n > 1$ तथा $T =$पहचान। फिर$U = M(V)$ तोह फिर $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$