रैखिक बीजगणित - उपसमूह समस्या का आयाम
मुझे यह सवाल गणित विषय की परीक्षा के जीआरई रेखीय बीजगणित खंड पर एक व्याख्यान स्लाइड से मिला, और यह पता नहीं लगा सका।
मान लीजिए $V$परिमित आयाम n का एक वास्तविक वेक्टर स्थान है। से मैट्रिसेस के सेट पर कॉल करें$V$ अपने आप में $M(V)$।
चलो$T∈ M(V)$। दो उपप्रजातियों पर विचार करें$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ तथा $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$।
निम्नलिखित में से क्या TRUE होना चाहिए?
आई। अगर $V$ का एक आधार है जिसमें केवल eigenvectors शामिल हैं $T$ तब फिर $U=M(V)$।
II।$\dim(U) +\dim(W) =n^2$।
III।$\dim(U)< n$।
मुझे लगता है कि II को गलत होना चाहिए, लेकिन मैं I या III की सच्चाई का पता नहीं लगा सकता। किसी भी मदद की सराहना की है!
जवाब
$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$
1 जरूरी नहीं कि सच हो। लेने के लिए$n = 2$, और जाने $T(e_1) = e_1$ तथा $T(e_2) = 2e_2$। चलो$X$ श्रेष्ठ $X(e_1) = e_1$ तथा $X(e_2) = e_1 + e_2$। फिर$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, लेकिन आ $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$। फिर$TX \neq XT$।
2 सत्य है। रेखीय मानचित्र पर विचार करें$f: M(V) \to M(V)$ भेजना $X$ सेवा मेरे $TX - XT$। तब हम लिख सकते हैं$W = \im(f)$ तथा $U = \ker(f)$। फिर रैंक-शून्यता प्रमेय द्वारा,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$।
3 जरूरी नहीं कि सच हो। लेने के लिए$n > 1$ तथा $T =$पहचान। फिर$U = M(V)$ तोह फिर $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$।