रामानुजन की पहचान जैकोबफंक्शन से संबंधित [डुप्लिकेट]
कथित तौर पर रामानुजन के कारण निम्न पहचान है $$\int_0^\infty \frac{{\rm d}x}{(1+x^2)(1+r^2x^2)(1+r^4x^2)\cdots} = \frac{\pi/2}{\sum_{n=0}^\infty r^{\frac{n(n+1)}{2}}} \, $$लेकिन आप इसे कैसे साबित करते हैं? दाईं ओर का भाजक जैकोबी फंक्शन से संबंधित है, इसलिए शायद एक मॉड्यूलर रूपों के माध्यम से आगे बढ़ सकता है?
जवाब
अभी के लिए एक आंशिक जवाब। हमें यह साबित करना होगा$$ \prod_{n\geq 1}\frac{1}{1+r^n}=\sum_{k\geq 0}\prod_{n=1}^{k}\frac{r^{2n-1}}{r^{2n}-1} $$ या $$ \prod_{n\geq 1}\frac{1-r^n}{1-r^{2n}}=\sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n=1}^{k}\frac{1}{1-r^{2n}} $$ या $$ \prod_{n\geq 1}(1-r^n) = \sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n>k}(1-r^{2n}) $$
जहां एलएचएस, यूलर के पंचकोणीय संख्या प्रमेय द्वारा, बराबरी करता है $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k r^{k(3k-1)/2} $$ और के गुणांक $r^m$ में $\prod_{n>k}(1-r^n)$ के विभाजन की संख्या पर निर्भर करता है $m$ कार्डिनलिटी के साथ अलग-अलग हिस्सों में $>k$, भागों की संख्या के अनुसार एक सकारात्मक या नकारात्मक संकेत के साथ हिसाब।
अब यूलर के पंचकोणीय संख्या प्रमेय के दहनशील प्रमाण में या उसी के कुछ निकट के शोषण में उपयोग किए गए एक ही इंवोल्यूशन का उपयोग करके हमारे दावे को साबित करना मुश्किल नहीं होना चाहिए ।