रीमान sums का उपयोग कर सीमा [डुप्लिकेट]

Question

मुझे निम्नलिखित सीमा को हल करने में कुछ परेशानी हो रही है:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

यह प्रश्न "रीमन सम" खंड में है, इसलिए मुझे लगता है कि हम इसे एक अभिन्न में बदलना चाहते हैं, इसलिए:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

मुझे लगता है कि $n$ विभाजन की संख्या है और $1/n$ हर एक की लंबाई है, तो इसका मतलब है कि $b - a = 1$ या $b = a+1$, जिसका अर्थ है कि हमें केवल एक मूल्य खोजने की आवश्यकता है $a$ तथा $b$ वह होगा $+1$। लेकिन अब मुझे इसका मूल्य नहीं मिल रहा है$a$ न $f(x)$। इसे कैसे हल किया जा सकता है?

Answer 1

ध्यान दें कि $\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$ और इसलिए$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$