सब $A_i$ जुड़े हुए सेट ऐसे हैं $\bigcap\limits_{i\in E} A_i \neq \emptyset$ तब फिर $\bigcup\limits_{i \in E} A_i$ जुड़ा हुआ है [डुप्लिकेट]

Question

यह मेरा प्रमाण है

---

मान लीजिए न। फिर,$\cup A_i$ एक खुला विभाजन है $\{U,V\}$

$U \subseteq \cup A_i$ इसलिए हमें केवल दो मामले दिखाने की जरूरत है:

1. $U \subseteq \cup A_j$ साथ से $U \neq \cup A_j$ कुछ के लिए $J \subseteq E$। फिर कुछ मौजूद है$A_k$ ऐसा है कि $U \neq A_k$ साथ से $U \cap A_k \neq \emptyset$। इस प्रकार$\{ U \cap A_k,V \cap A_k \}$ का एक खुला विभाजन है $A_k$। धारणा से,$A_k$जुड़ा है। यह एक विरोधाभास है [$\cup A_i$ काट दिया जाता है]

2. $U= \cup A_t$ कुछ के लिए $T \subseteq E$। जबसे$V \neq \emptyset$, कुछ मौजूद है $A_k$ ऐसा है कि $(A_k-U) \neq \emptyset$। चलो$J=T \cup \{k\}$। फिर केस 1 द्वारा, यह विरोधाभास है [$\cup A_i$ काट दिया जाता है]

---

क्या यह सही है??
मैं इसके बारे में आश्वस्त नहीं हूं...

Answer 1

ऐसी कई बातें हैं जो मैं आपके प्रमाण में नहीं समझता। विशेष रूप से:

1. $U \neq \bigcup_j A_j$ : संघ ने किस सेट पर प्रदर्शन किया है?

2. केस के लिए समान बातें 2. साथ $T$।

मैं बस के रूप में कहूंगा $$\bigcap_{j \in J} A_j$$ खाली होना चाहिए, चलो लेते हैं $x \in \bigcap_{j \in J} A_j$।

परिकल्पना द्वारा $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U \cap V,$$ हम सामान्यता की हानि के बिना मान सकते हैं $x \in U$ (हम की भूमिका स्वैप कर सकते हैं $U,V$ दूसरे मामले में)।

अब किसी के लिए भी $j \in J$, $A_j$ जुड़ा होना चाहिए और $x \in A_j$। इसलिए$A_ j \subseteq U$ और अंत में $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U$$ यह साबित करते हुए कि संघ जुड़ा हुआ है।