सभी जटिल संख्याओं को निर्धारित करें जो शर्तों को पूरा करती हैं - $|z|=2$ $\space$ तथा $\space$ मैं हूँ $(z^6)=8$ मैं हूँ $(z^3)$
सभी जटिल संख्याओं का निर्धारण करें $z$ जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:
$|z|=2$ $\space$ तथा $\space$ मैं हूँ$(z^6)=8$ मैं हूँ$(z^3)$
मैंने पहले गणना की $z^3$ तथा $z^6$।
$z^3=x^3-3xy^2+3x^2yi-y^3i$
$z^6=(x+yi)^6=\binom{6}{0}x^6+\binom{6}{1}x^5yi+\binom{6}{2}x^4(yi)^2+\binom{6}{3}x^3(yi)^3+\binom{6}{4}x^2(yi)^4+\binom{6}{5}x(yi)^5+\binom{6}{6}(yi)^6$
$=x^6+6x^5yi+15x^4(-y^2)+20x^3(-y^3i)+15x^2y^4+6xy^5i-y^6$
तब मैंने समीकरण Im में काल्पनिक भागों को रखा$(z^6)=8$ मैं हूँ$(z^3)$ और पीछा किया
$6x^5y-20x^3y^3+6xy^5=8(3x^2y-y^3)$
$2xy(x^2-3y^2)\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}=8y\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}$ (*)
$x(x^2-3y^2)=4$ $\space$ (1)
से $|z|=2$ इस प्रकार है $\sqrt{x^2+y^2}=2$ $\space$ $\rightarrow$ $y^2=4-x^2$ (२)
(1) डालने के बाद (1) मुझे मिल गया
$x^3-3x=1$
और फिर $x=2\cos\varphi$
समीकरण $8\cos^3\varphi-6\cos\varphi=1$ को ट्रांसफॉर्म किया जा सकता है
$2\cos3\varphi=1$( पहचान की मदद से मुझे यह मिला$\cos {3x}$)
और फिर
$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$
$\varphi_2=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$, $\space$ $k \in \mathbb{Z}$
अलग से लिखा समाधान है
$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_2=\frac{5\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_3=\frac{7\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_4=\frac{11\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_5=\frac{13\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_6=\frac{17\pi}{9}+2k\pi$
(*) एक्सप्रेशन के अनुरूप $3x^2-y^2$धारीदार हैं। हमें उसे शामिल करना होगा
$3x^2-y^2=0$
$3x^2-(4-x^2)=0$
$4x^2=4$
$x^2=1$
$(2\cos\varphi)^2=1$
$\cos^2\varphi=\frac{1}{4}$
इस समीकरण को हल करने के बाद हमें मिलता है
$\varphi_7=\frac{\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_8=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_9=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_{10}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$
मेरी पाठ्यपुस्तक से हल:
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_1=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})}$।
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_2=2(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})}$।
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_3=2(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3})}$।
क्या कोई मुझे गलती खोजने में मदद कर सकता है?
अगर आपको गलती महसूस होती है तो संपादित करने में संकोच न करें। चित्र पर bellow सभी 10 समाधान हैं।
जवाब
यह घातीय रूप से हल करने के लिए छोटा है $z$: चूंकि इसका मापांक है $2$, हम लिख सकते है $\:z=2\,\mathrm e^{i\theta}$। और काल्पनिक भागों पर समीकरण बन जाता है$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $$\im(z^6)=\im\bigl(64\mathrm e^{6i\theta} \bigr)=64\sin 6\theta,\qquad \im(8z^3)=\im\bigl(64\mathrm e^{3i\theta}\bigr)=64\sin 3\theta$$ यह सरल मानक त्रिकोणमितीय समीकरण है $\;\sin 6\theta=\sin 3\theta$। इसके उपाय हैं$$ \begin{cases} 6\theta\equiv 3\theta \iff 3\theta\equiv 0\mod 2\pi\iff\theta\equiv 0\mod\frac{2\pi}3,\\ 6\theta\equiv \pi-3\theta \iff 9\theta\equiv \pi \mod 2\pi \iff \theta\equiv \frac\pi 9 \mod\frac{2\pi}9 . \end{cases} $$ में समाधान का एक संक्षिप्त रूप $\theta$ होगा $$\theta\in\Bigl\{\frac{k\pi}9\,\Bigm|\, k=0, \pm 1,\pm3,\pm 5,\pm 7, 9 \Bigr\}. $$
व्यापकता के नुकसान के बिना, हम समीकरणों को कम कर सकते हैं $$|z|=1 ,\text{Im}(z^6)=\text{Im}(z^3)$$
इससे हम कह सकते हैं कि कब $z=\omega_i$ (कहां है $\omega_i$ एकता की घन जड़ें हैं), समीकरण निश्चित रूप से सही होंगे।
उसके बाद, के लिए बहुपद विस्तार का उपयोग करें $z^6 $ तथा $z^3$ मानते हुए $z=x+i y$ जो प्रभावी ढंग से हल कर रहा है $$6xy^{5}\ -20x^{3}y^{3}+6x^{5}y=\left(3yx^{2}-y^{3}\right)$$ शर्त पर कि $$x^2+y^2=1$$ जो एक इकाई चक्र है।
आप निम्नलिखित ग्राफ को यहां देख सकते हैं
लाल घेरे के साथ काले ग्राफ के चौराहों और लेबल वाले निर्देशांक वाले नीले बिंदुओं के लिए आवश्यक समाधान हैं।