"सभी विषम क्षण गायब हो जाते हैं" के बारे में एक और सवाल

Question

[ विषम क्षणों के साथ गैर-पतित यादृच्छिक चर के उदाहरण से प्रेरित प्रश्न = 0 ]

मान लीजिए $X$एक वास्तविक रैंडम वैरिएबल है जैसे कि सभी विषम मोमेंट्स गायब हो जाते हैं। अर्थात्$\mathbb E[X^{2n+1}]=0$ के लिये $n=0,1,2,3\cdots$। क्या यह उसका पालन करता है$X$ के बारे में सममित रूप से वितरित किया गया है $0$? अर्थात्,$X$ तथा $-X$ समान वितरण है।

नोट: मामला जहां $X$बाउंडेड यहां पाया जाता है: प्रमाण$\mathbb{E} X^k = 0$ सभी विषम के लिए $k$ का तात्पर्य $X$ बंधे के लिए सममित $X$ चारित्रिक कार्यों के बिना

Answer 1

लश्कर $X$ घनत्व है $$ f(x) = \frac1{48}\left(1-\mathsf{sign}(x)\sin\left(|x|^{\frac14}\right)\right) e^{-|x|^{\frac14}},\ x\in\mathbb R. $$ फिर प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$ अपने पास $$ \mathbb E[X^n] = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)\ \mathsf dx = \frac{(1+(-1)^n)(4(n+1))!}{12}. $$ यह तुरंत इस प्रकार है $\mathbb E[X^{2n+1}=0]$ सभी अप्रतिष्ठित पूर्णांकों के लिए $n$। हालांकि यह स्पष्ट है$f$ एक भी कार्य नहीं है, इसलिए $X$ शून्य के बारे में सममित नहीं है।