सिद्ध करें कि मंडलियों के त्रिज्या का योग

Question

$ABCD$एक चक्रीय चतुर्भुज है। सिद्ध करें कि त्रिकोण के अंदर खींचे गए वृत्त की त्रिज्या का योग$\Delta ABC$ तथा $\Delta CDA$ त्रिभुजों के अंदर खींचे गए वृत्त की त्रिज्या के योग के बराबर है $\Delta BCD$, $\Delta DAB$।

मैं इस विचार के साथ आया था कि मैं इसका उपयोग कर सकता हूं https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_theorem_for_cyclic_quadrilateralsयह साबित करने के लिए कि केंद्रों के बीच की दूरी बराबर है - वे एक आयत बनाते हैं - लेकिन मैं इसे हल नहीं कर सकता। कृपया मदद करे।

Answer 1

संकेत। कार्नोट के प्रमेय का उपयोग करें: एक त्रिकोण को देखते हुए$\Delta ABC$, जाने दो $O$ इसकी परिधि को निरूपित करें, $R$ इसकी परिधि, और $r$इसके विपरीत। चलो$O_1,O_2,O_3$ इसके अलावा ओर्थोगोनल अनुमानों के $O$ पर $BC, CA, AB$क्रमशः। हम तो है$$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ सूचना: खंड $OO_i$ नकारात्मक होने पर लिया जाता है $OO_i$ पूरी तरह से बाहर है $\Delta ABC$और सकारात्मक अन्यथा।

यहाँ,$\color{blue}{OO_2}$ नकारात्मक होगा, जबकि $\color{red}{OO_1, OO_3}$सकारात्मक हैं सुविधा के लिए, चलो$AB=:c, BC=:a, CA=:b$। नोटिस जो$OO_3BO_1$ तब से एक चक्रीय चतुर्भुज है $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$, और इसलिए, आप अनुमान लगाने के लिए टॉलेमी के प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$अनुरूपता से, आप \ _ {केस} R \ cdot a = OO_3 \ cdot b + OO_2 \ cdot c \\ R \ cdot b = OO_1 \ cdot c + OO_3 \ cdot a \\ R \ cdot c = OO_2 \ cdot प्राप्त करेंगे। a + OO_1 \ cdot b \ end {मामले}

इन्हें जोड़ें और प्रसिद्ध समीकरण पर विचार करें $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ (क्या अब आप देखते हैं कि क्यों लेना महत्वपूर्ण है $OO_2$नकारात्मक होने के लिए?) पहला भाग केवल विभाजन का परिणाम है$\Delta ABC$एक वर्टेक्स के रूप में इंटक के साथ तीन त्रिकोणों में। दूसरा भाग तुच्छ है।$$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

अब, अपनी समस्या पर वापस जा रहे हैं, हमारे पास यह मणि होने के बाद समाप्त करना आसान है :)

(मैं छवि का उल्लेख करूंगा।) ध्यान दें कि दो बार Carnot की प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक बार के लिए $\Delta ABD$ और फिर के लिए $\Delta BCD$, हमने प्राप्त किया $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ नोटिस जो $OO_5$ के लिए नकारात्मक है $\Delta ABD$ और के लिए सकारात्मक $\Delta BCD$। इस प्रकार, यदि आप इन दो समीकरणों को जोड़ते हैं, तो आपको मिलेगा$$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ यह देखना आसान है कि संदर्भित करते समय यह अभिव्यक्ति समान होगी $r_3+r_4$।