तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र में एक संगणना।

Question

ड्युमिट और फूट 3 संस्करण में, अध्याय 14, धारा 2, व्यायाम 30, मुझसे निम्नलिखित पूछा गया है:

लश्कर $ k $ एक क्षेत्र बनो, $ k(t) $ चर में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र $ t $। नक्शे को परिभाषित करें$ \sigma $ तथा $ \tau \in Aut(k(t)/k) $ द्वारा $$ \sigma f(t) = f \left( \frac{1}{1-t} \right) \quad \tau f(t) = f \left( \frac{1}{t} \right) $$ के लिये $ f(t) \in k(t) $। सिद्ध है कि निर्धारित क्षेत्र$ \langle \tau \rangle $ है $ k \left( t + \frac{1}{t} \right) $का निश्चित क्षेत्र $ \langle \tau \sigma^2 \rangle $ है $ k(t(1-t)) $; का निश्चित क्षेत्र निर्धारित करें$ \langle \tau \sigma \rangle $ तथा $ \langle \sigma \rangle $।

इसका एकमात्र हिस्सा जिससे मैं जूझ रहा हूं, उसका निश्चित क्षेत्र है $ \langle \sigma \rangle $। इस निश्चित फ़ील्ड को कॉल करें$ E = k(s) $, कहाँ पे $ s = P(t) / Q(t) \in k(t) $कुछ तर्कसंगत कार्य है। ध्यान दें , मैं यहाँ एक धारणा बना रहा हूँ$ E $ रूप का है $ k(s) $, और अब तक यह एक प्राथमिकता का औचित्य साबित नहीं कर सकता । मैंने पिछले अध्याय से पिछले अभ्यास में दिखाया है कि$ [k(t) : k(s)] = \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} $, इसलिए, चूंकि $ k(t)/k(s) $ एक गैलोज एक्सटेंशन है ($k(s)$ ऑटोमोबिलिज़्म के एक उपसमूह का निश्चित क्षेत्र होने के नाते), मुझे उम्मीद है $$ \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} = [k(t) : k(s)] = |\langle \sigma \rangle| = 3 $$ इस बिंदु पर मैं सभी को पूरा करने में सक्षम रहा हूं, कंप्यूटर, सेटिंग द्वारा जानवर-बल समीकरण-हल करना था $$ s = \frac{a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0}{b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0} $$ और इससे उत्पन्न समीकरणों को हल करना $ \sigma s = s $। मैं इस तरह तत्व पाया$ s = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $। इसलिए मैं यह निष्कर्ष निकालने के लिए इच्छुक हूं$ k \left( \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} \right) $ का निश्चित क्षेत्र है $ \langle \sigma \rangle $। यह दृष्टिकोण असंगत लगता है, और मैं जानना चाहूंगा कि एक असंतोषजनक और अपारदर्शी कंप्यूटर-खोज से बचने के लिए मैंने कौन से उपकरण का उपयोग किया होगा।

Answer 1

के लिये $G$ का एक छोटा उपसमूह $Aut(k(t)/k)$ उसके बाद निश्चित उपक्षेत्र है $k(t)^G=k(a_0(t),\ldots,a_{|G|-1}(t))$ कहाँ पे $\prod_{g\in |G|} (X-g(t))=\sum_{m=0}^{|G|} a_m(t) X^m$।

फिर कोई गैर-स्थिर गुणांक लें $a_m(t)$, क्योंकि प्रत्येक $g(t) = \frac{e_g t+b_g}{c_g t+d_g}$ एक Möbius परिवर्तन है जो हमें मिलता है $a_m(t)$ सबसे ज्यादा है $|G|$ पोल की बहुलता के साथ गिनती की गई (पोल पर सहित) $\infty$), इस प्रकार $[k(t):k(a_m(t))]\le |G|=[k(t):k(t)^G]$ जिसका तात्पर्य है $$k(t)^G=k(a_m(t))$$

ओपी द्वारा संपादित करें: इस समस्या के लिए, तकनीक तत्व का उत्पादन करती है $ a_2(t) = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $, कंप्यूटर की गणना को संशोधित करना।