ट्रांसफॉर्मिंग ऑब्जर्वबल्स, गलतफहमी ग्रिफिथ्स, इंट्रो। क्यूएम, या एक अलग परिभाषा के लिए
ग्रिफ़िथ के परिचय में। से क्यूएम 3, सेक। 6.2 , एक अवलोकनीय बदलना$Q$ अनुवाद ऑपरेटर द्वारा $T$ पाया जाता है $$ Q' = T^\dagger Q\ T $$ समता ऑपरेटर के लिए भी यही है $\Pi$ की बजाय $T$ अपने पास $Q' = \Pi^\dagger Q\ \Pi$।
लेकिन अन्य ग्रंथों में, जैसे, तन्नौदजी, क्यूएम, 2 डी एड, वॉल्यूम। I, अध्याय VI के पूरक, पूरक बी$_{VI}$, 5. observables की रोटेशन , और भी अन्य प्रश्न में यहाँ और यहाँ नमूदार पर परिवर्तन$A$ एकात्मक परिवर्तन द्वारा $U$ होना चाहिए $$ A' = UA\ U^\dagger $$ कहां है $U$, जैसा कि मैं समझता हूं, जैसा कि एक सक्रिय परिवर्तन होना चाहिए $T$ऊपर और मुझे उम्मीद थी कि दोनों समीकरण समान होने चाहिए। लेकिन ऐसा लगता है कि दो परिभाषाएं समान नहीं हैं, या कोई गलती है?
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ग्रिफ़िथ परिभाषा:
रूपांतरित परिचालक $\hat Q'$ de same ned ऑपरेटर है जो अनियंत्रित अवस्था में समान अपेक्षा मूल्य देता है $\psi$ जैसा कि ऑपरेटर करता है $\hat Q$ अनूदित अवस्था में $\psi'$ $$ \langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$एक उम्मीद मूल्य पर एक अनुवाद के प्रभाव की गणना करने के दो तरीके हैं। कोई वास्तव में लहर फ़ंक्शन को कुछ दूरी पर स्थानांतरित कर सकता है (इसे एक सक्रिय परिवर्तन कहा जाता है ) या कोई तरंग फ़ंक्शन को छोड़ सकता है जहां यह था और विपरीत दिशा में एक समान राशि (एक निष्क्रिय परिवर्तन ) द्वारा हमारे समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को स्थानांतरित कर सकता है । परिचालक$\hat Q'$ इस स्थानांतरित समन्वय प्रणाली में ऑपरेटर है।
Eq का उपयोग करना। 6.1,$$ \langle\psi|T^\dagger\hat Q\ \hat T|\psi\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$
तन्नौदजी परिभाषा:
आइए हम सिस्टम को स्वदेश में मान लें $|u_n\rangle$ का $A$: मापने के लिए उपकरण $A$ इस प्रणाली में परिणाम देगा $a_n$जरूर। लेकिन माप प्रदर्शन करने से ठीक पहले, हम एक रोटेशन लागू करते हैं$\scr R$भौतिक प्रणाली के लिए और, एक साथ, माप उपकरण के लिए; उनके सापेक्ष स्थान अपरिवर्तित हैं। नतीजतन, अगर अवलोकन योग्य है$A$ जिस पर हम विचार कर रहे हैं, केवल उस सिस्टम से जुड़ी एक भौतिक मात्रा, जिसे हमने घुमाया है (जो अन्य प्रणालियों या उपकरणों से स्वतंत्र है, जिन्हें हमने घुमाया नहीं है), फिर, अपनी नई स्थिति में, माप उपकरण अभी भी वही परिणाम देगा। $a_n$जरूर। अब, रोटेशन के बाद, डिवाइस, after nition, उपायों द्वारा$A'$, और सिस्टम राज्य में है: $$ |u_n'\rangle = R|u_n\rangle $$ इसलिए हमारे पास होना चाहिए: $$ A|u_n\rangle = a_n|u_n\rangle \implies A'|u_n'\rangle = a_n|u_n'\rangle $$ अर्थात्: $$ R^\dagger A' R |u_n\rangle = a_n|u_n\rangle $$
ध्यान दें कि $\scr R$ भौतिक 3-आयामी अंतरिक्ष और रोटेशन है $R$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष में इसके प्रतिनिधि ऑपरेटर हैं।
जवाब
कर रहे हैं दो शारीरिक रूप से अलग अलग विचारों अलग गणितीय गुणों के साथ जब (परिभाषित करने सक्रिय क्वांटम भौतिकी में observables पर एक समरूपता के) कार्रवाई।
मान लें कि, विग्नेर प्रमेय के अनुसार ,$U$ राज्य वैक्टर का एक या एकात्मक या विरोधी एकात्मक परिवर्तन है $\psi$एक क्वांटम प्रणाली की स्थिति पर एक सक्रिय कार्रवाई के अनुरूप ।
अगर $A$एक अवलोकन योग्य है, हमारे पास दोहरी कार्रवाई है ,$$A \to S_U(A) := U^{-1}A U$$और उलटा दोहरी कार्रवाई $$A \to S^*_U(A) := UAU^{-1}\:.$$
पूर्व में भौतिक माप उपकरणों पर एक क्रिया का अर्थ है जैसे अपरिवर्तित अवस्था पर परिणामों पर प्रभाव अपरिवर्तित वेधशालाओं पर परिवर्तित राज्यों के परिणामों के समान है। साथ में सिस्टम का अनुवाद करने के बजाय Ie$x$, मैं उपकरणों के साथ अनुवाद करता हूं $-x$।
उत्तरार्द्ध में माप उपकरणों पर एक कार्रवाई का अर्थ है जो सिस्टम पर समरूपता की कार्रवाई को रद्द करता है जहां तक माप के परिणामों का संबंध है।
इन तथ्यों के प्रमाण बुनियादी क्यूएम औपचारिकता (अंतिम नोट देखें ) से तुच्छ हैं ।
एक समरूपता समूह की कार्रवाई पर चर्चा करते समय एक मौलिक गणितीय अंतर होता है $G$ राज्य वैक्टर पर एकात्मक (या एकात्मक एकात्मक) प्रतिनिधित्व द्वारा प्रतिनिधित्व किया $$G\ni g \mapsto U_g\:.$$ हमेशा की तरह, (चरणों तक) $$U_gU_h =U_{g\circ h}\:, \quad U_e = I$$ कहां है $\circ$ में उत्पाद है $G$ तथा $e$पहचान तत्व है। मैं इसलिए शॉर्टहैंड का उपयोग करता हूं$S_g := S_{U_g}$ और इसी तरह के लिए $S^*$।
उलटा दोहरी कार्रवाई के एक उचित प्रतिनिधित्व को परिभाषित करता है $G$: $$S^*_g S^*_h = S^*_{g\circ h}\:,$$ जबकि दोहरी कार्रवाई एक बाएं प्रतिनिधित्व को परिभाषित करती है $$S_g S_h = S_{h\circ g}\:.$$एक या किसी अन्य कार्रवाई का उपयोग सुविधा की बात है और भौतिक व्याख्या पर निर्भर करता है। QFT में क्षेत्र वेधशालाओं पर स्पेसटाइम के समस्थानिकों के समूह की प्राकृतिक क्रिया को आमतौर पर लागू किया जाता है$S^*$।
ध्यान दें ।
अगर $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ स्वजॉइंट ऑपरेटर का वर्णक्रमीय अपघटन है $A$ तथा $U$ एक एकात्मक या विरोधी संचालक है, फिर $$UAU^{-1} = \int_{\sigma(A)} \lambda dUP^{(A)}(\lambda)U^{-1}\:.$$ दूसरे शब्दों में, वर्णक्रमीय माप $P^{(UAU^{-1})}(E)$ का $UAU^{-1}$ सिर्फ $UP^{(A)}(E)U^{-1}$।
इसलिए, संभावना है कि के परिणाम $A$ में रहता है $E\subset \mathbb{R}$ जब इकाई वेक्टर द्वारा राज्य का प्रतिनिधित्व किया जाता है $\psi$ है $$||P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||P^{(U^{-1}AU)}(E)||^2 = ||P^{(S_U(A))}(E) \psi||^2\:,$$ की उक्त व्याख्या को जन्म देता है $S_U(A)$: अभिनय कर रहे $A$ साथ से $S_U$ और राज्य को छोड़ना, कार्य करने के बराबर है $\psi$ साथ से $U$ और जा रहा है $A$ अपरिवर्तित।
विशेष रूप से, विशेष रूप से अपेक्षा मूल्यों के संबंध में, $$\langle\psi| S_U(A) \psi \rangle = \langle U\psi| A \:U\psi \rangle$$
इसी तरह, $$||P^{(S^*_{U}(A))}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}UP^{(A)}(E)U^{-1}U \psi||^2 = ||P^{(A)}(E) \psi||^2\:,$$ की उक्त व्याख्या को जन्म देता है $S^*_U(A)$: पर कार्रवाई $A$ साथ से $S_U^*$ की कार्रवाई को रद्द करता है $U$ पर $\psi$।
विशेष रूप से, विशेष रूप से अपेक्षा मूल्यों के संबंध में, $$\langle U\psi| S^*_U(A) U\psi \rangle = \langle\psi| A \psi \rangle$$