त्रिकोण की परिधि को सिद्ध करें $MNC$ त्रिकोण के आधे परिधि के बराबर है $ABC$
में $ABC$ समभुज त्रिकोण। $K$ का मध्य बिंदु है $AB$। $M$ तथा $N$ पर झूठ $AC$ तथा $BC$क्रमशः। अगर$\angle MKN=60°$, तो साबित हो कि परिधि $\triangle MNC$ के आधे परिधि के बराबर है $\triangle ABC$।
जवाब
आईना $N$ इसके संबंध में $CK$, जाने भी दो $N'$। हमने देखा कि$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$। इसलिये$MKNN'$सह चक्रीय हैं। इसलिये$\triangle MKN$सम्मान के साथ दर्पण छवि $CK$ के साथ एक ही खतना साझा करता है $\triangle MKN$। इसलिए का केंद्र$\triangle MKN$खतना पर है $CK$।
अब के कोण bisectores आकर्षित $\angle CMN, \angle CNM$ और उन्हें मिलने दो $I$। जाहिर है$I$ तीसरे बिसेसर पर निहित है $CK$। जबसे$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$सह चक्रीय हैं। इसके अलावा, पिछले पैराग्राफ से परिणाम के साथ संयोजन, हम जानते हैं$IK$उस वृत्त का एक व्यास है। इसलिये$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$।
इसलिये $MK$ बाहरी कोण bisects $\angle AMN$ तथा $NK$ बाहरी कोण bisects $\angle BNM$।
अब सही तस्वीर देखिए। वृत्त को स्पर्शरेखा से खींचें$AM,MN,NB$ और उसके केंद्र होने दो $O$। हम उस पर ध्यान देंगे$MO$ कोण को काटेगा $AMN$ तथा $NO$ कोण को काटेगा $BNM$ इसलिए $O$ तथा $K$ मूल रूप से एक ही बिंदु हैं।
अब इसकी परिधि देखना आसान है $\triangle CMN$ के रूप में ही है $CP+CQ$, जो की परिधि का आधा है $\triangle ABC$। (चूंकि$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ और ऐसा ही करता है $BQ$)
मुझे लगता है कि मैंने समस्या लोगों को हल कर दी है!
चलो बिंदु लेते हैं $P$ बगल में $BC$ कहाँ पे $\angle NKP=60°$। फिर बिंदु लेते हैं$T$ पीके लाइन पर जहां $PK=KT$। त्रिभुज$BKP$ तथा $ATK$बधाई हो। इसलिए$\angle TAK=60°=\angle KBP$। नोटिस जो$AMKT$एक खतना है। इसलिए$\angle TAK=\angle TMK$। इस प्रकार$TMK$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अब हम सुनिश्चित कर सकते हैं कि त्रिकोण $MKN$ तथा $NKP$बधाई हो। इसलिए$MN=NK$। टॉलेमी की प्रमेय द्वारा, हम इसे प्राप्त करते हैं$AM+AT=AK$। इसके अलावा, यह मत भूलना$BP=AT$।
$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$।