उस के लिए दिखाओ $a_i>0$ तथा $n \ge 2$ : $\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ [डुप्लिकेट]

Question

उस के लिए दिखाओ $a_i>0$ तथा $n \ge 2$ निम्नलिखित पकड़ है: $$\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$

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मुझे पता है कि दाहिना हाथ वास्तव में है: $$\sum_{I \subseteq\left\{1,..,n\right\}}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i}$$ जो इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$1+\sum_{ I \subseteq\left\{1,..,n\right\},\\\left|I\right|\ne0,1}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i} +\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$ जो आसानी से परिणाम का अनुसरण करता है। इसके अलावा कोई भी प्रेरण का उपयोग कर सकता है $n$: आधार मामला तब से सच है $$\prod_{i=1}^{2}\left(1+a_{i}\right)=1+a_{1}+a_{2}+a_{1}a_{2}>1+a_{1}+a_{2}=1+\sum_{i=1}^{2}a_{i}$$

मान लें कि संबंध के लिए पकड़ है $n$ और संबंध के दोनों पक्षों को गुणा करें $(1+a_{n+1})$:

$$\prod_{i=1}^{n+1}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}+a_{n+1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}$$

दिखाता है कि दावा सभी के लिए है $n \ge 2$।

क्या मैंने जो किया है वह सही है और क्या इसका कोई बेहतर तरीका है?

Answer 1

अगर $a_k>0$, तब फिर $$(1+a_1)(1+a_2)=1+a_1+a_2+a_1a_2 \implies (1+a_1)(1+a_2)>1+a_1+a_2$$ $$\implies (1+a_1)((1+a_2)(1+a_3)> (1+a_1+a_2)(1+a_3)>(1+a_1+a_2+a_3).$$ इसी तरह, पाने के लिए बार-बार ऐसा करते रहें $$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)......(1+a_n) >1+a_1+a_2+a_3+.....+a_n.$$