विभिन्न प्रकारों की तलाश में, जो सही अनुवाद के रूप में आस्थगित रूप से प्रतिनिधित्व करने योग्य का वर्णन करेंगे।
अगर $G$ एक समूह है, हम देखते हैं कि आपत्ति है $y\mapsto y_r$, कहां है $(x)a_r = xa$, सही से लिखे गए कार्य एक समूह समरूपता है।
इस तरह, हमारे पास अनुवाद के रूप में समूहों की एक दिलचस्प व्याख्या है।
इससे प्रेरित होकर, चलो $S$कोई मेग्मा हो आइए एक सही अनुवाद के उसी ऑपरेशन पर विचार करें$S$। हम एक प्रश्न पूछ सकते हैं, यह नक्शा कब है$y\mapsto y_r$ एक घरवाद।
जाहिर है, यह iff है $(x)a_rb_r = (x)(ab)_r$ किसी के लिए $x, a, b$, अर्थात्, $(xa)b = x(ab)$।
इस तरह, एक समरूपता बनाने वाले अनुवाद के बारे में एक साधारण सवाल से हम स्वाभाविक रूप से एक अर्धवृत्त की परिभाषा पर पहुंचे।
हम अपने आप से एक और सवाल पूछ सकते हैं कि यह नक्शा एक समरूपता कब है? यह एक isomorphism iff है$y\mapsto y_r$ इंजेक्शन है, और वह iff है $(x)a_r = (x)b_r$, अर्थात्, $xa = xb$ का तात्पर्य $a = b$ सबके लिए $x, a, b$।
इस तरह के अर्धवृत्त को कमजोर कमजोर छोड़ दिया जाता है, लघु के लिए लिखावट अर्धवृत्त।
हालाँकि, इस के साथ एक गंभीर मुद्दा है, द्विआधारी संचालन के साथ संरचनाओं के बीच एक किस्म का लेखन नहीं होता है। स्पष्टतः यदि$S$ एक अर्धवृत्ताकार है जो एक लेखक का अर्धसमूह नहीं है, फिर $S^1$, कहां है $S\mapsto S^1$एक पहचान तत्व को जोड़ने का ऑपरेशन है, एक लेखक का अर्धवृत्त है। परन्तु फिर$S^1$ होता है $S$ इसके उप-समूह के रूप में, ताकि एक लेखक के उप-समूह का एक उप-समूह एक लेखक का अर्ध-समूह न हो।
लेकिन अर्धवृत्तों का एक वर्ग है जो एक किस्म बनाता है, शायद बाइनरी ऑपरेशन के साथ संरचनाओं के रूप में नहीं, बल्कि एक शून्य तत्व के अलावा। वे बचे हुए हैं$(S, \cdot, e)$ कहां है $\cdot$ एक बाइनरी ऑपरेशन है, $e$ शून्य तत्व है, और दो पहचान हैं: $x(yz)\approx (xy)z$, $ex \approx x$।
अर्धवृत्त के एक वर्ग के रूप में जो ऑपरेशन को भूलने से आता है $e$ अर्थात $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$, सभी बचे हुए मोनोइड्स हैं, जो लिवर सेमीग्राफ हैं।
मेरा सवाल है, अगर हम कुछ संरचना पा सकते हैं $(S, \cdot, \mathscr{F})$ कहां है $\mathscr{F}$ सभी के सेट को दर्शाता है $n$के लिए कार्य $n\in\mathbb{N}_0$ के अलावा अन्य $\cdot$ बाइनरी फ़ंक्शन, और पहचान, ताकि उन पहचानों को संतुष्ट करने वाले बीजगणितों का एक सेट विभिन्न प्रकार, और मानचित्र बनाता है $(S, \cdot, \mathscr{F})\mapsto (S, \cdot)$ किसी भी बीजगणित के लिए उन विभिन्न प्रकारों से यह एक लेखक के अर्धवृत्त में बदल जाता है, और इसलिए कि इस तरह से प्राप्त सेट का वर्ग अधिकतम है, या यदि यह असंभव है।
शुरुआत के लिए, यदि एक किस्म जो बाएं मोनॉयड्स और राइटर्स सेमीग्रुप्स के बीच के सेगमेंट्स के एक वर्ग को कवर करेगी।
अपडेट :
मैं इस तरह के ढांचे के लिए एक संभावित उम्मीदवार खोजने में सक्षम हूं। विचार करें$(S, \cdot, e)$ कहां है $e:S\to S$ पहचान के साथ एक संयुक्त अभियान है $e(x)x \approx x$ तथा $e(x)e(y)e(x)y \approx y$।
इस तरह के ढांचे मानसून को सामान्य बनाते हैं $f$ बाईं पहचान है, फिर $e(x) \equiv f$हमें उपरोक्त प्रकार की संरचना देता है। इसके अलावा, कोई भी सेगमेंट जो उन संबंधों को संतुष्ट करता है, एक राइटर सेग्रीग्रुप है, क्योंकि$xa = xb$ का तात्पर्य $a = e(a)b$ तथा $b = e(b)a$ ताकि $a = e(a)e(b)e(a)b = b$।
हालाँकि, मेरे पास एक उदाहरण नहीं है जो एक बाईं ओर नहीं है।
अपडेट 2 :
मैने पाया कि $e(x)x\approx x$, $e(x)e(y)e(x)y \approx y$ के बराबर हैं $e(x)^2 y \approx y$, $e(y)e(x)y \approx e(x)y$।
विशेष रूप से, हम ठीक कर सकते हैं $x\in S$ और ले लो $ e = e(x)^2$, ताकि $ey = y$ सबके लिए $y\in S$। इसका मतलब यह है$S$ एक वामपंथी है।
अपडेट 3 :
छोटे लेखकीय अर्धवृत्ताकार जो बचे हुए नहीं हैं :
आदेश का एक अनूठा लेखन सेमर है $3$जो एक बाईं ओर नहीं है। यह मैट्रिक्स द्वारा शुरू किया गया है {शुरू {bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \ अंत {bmatrix}
मेरी गणना से, वहाँ है $18$ क्रम के अर्धवृत्त $4$ ईद के साथ, जो लिखावट नहीं हैं, लेकिन मोनॉयड नहीं हैं $54, 67, 69, 69^t, 70, 70^t, 77^t, 88, 92, 98, 99^t, 100, 101^t, 102, 102^t, 103^t, 110^t, 112$ जीएपी पैकेज स्मालसेमी में, जहां $t$ का अर्थ है गुणन तालिका पारगमन (एंटी-आइसोमोर्फिज्म)।
नई संरचना :
चलो गौर करते हैं $(S, \cdot, e)$ कहां है $e$ एक बाइनरी ऑपरेशन है $e:S\times S\to S$पहचान के साथ $e(x, y) \approx e(y, x)$ तथा $e(x, y)x\approx x$।
आप बाइनरी ऑपरेशन को स्थानीय बाईं पहचान की पसंद के रूप में सोच सकते हैं, जो दो तत्वों को बांधता है $x, y$ साथ में मांग कर $e(x, y)$ दोनों की स्थानीय वाम पहचान होना $x$ तथा $y$।
अगर $S$ बाईं पहचान के साथ एक बाईं ओर है $f$, हम ले सकते है $e(x, y) \equiv f$।
इस तरह की कोई भी संरचना एक लेखकीय अर्धवृत्त है क्योंकि $xa = xb$ सबके लिए $x$ का तात्पर्य $e(a, b)a = e(a, b)b$, और उसका अर्थ यह निकलता है $a = b$।
ऐसी संरचनाओं की चर्चा यहां और यहां की जाती है ।
अद्यतन 4:
लगता है कि कमजोर वर्ग का एक और वर्ग कमजोर रिडक्टिव है! वे (छोटे) श्रेणियों द्वारा प्रेरित अर्धवृत्त हैं। निर्माण यहाँ @ जे.ई.पिन के उत्तर में पाया जा सकता है ।
अगर $(S, \cdot)$ श्रेणी के द्वारा प्रेरित है $\mathcal{C}$, तथा $x\cdot f = x\cdot g$ सबके लिए $x\in S$ और आकारिकी $f, g$ का $\mathcal{C}$, फिर ले रहा है $x = 1_X$ कहां है $X$ का डोमेन है $f$, $f = 1_X\cdot g$। विशेष रूप से,$1_X\cdot g = 1_X\circ g$ के बराबर परिभाषित किया गया है $g$। अगर$x\cdot f = x\cdot 0 = 0$ सबके लिए $x\in S$ और रूपवाद $f$ का $\mathcal{C}$, फिर पहले की तरह $f = 0$। अंतर्विरोध।
यह साबित करता है कि (छोटे) श्रेणियों से प्रेरित सभी सेगमेंट्स कमजोर रूप से कम कर रहे हैं।
जवाब
आप इस तरह से सभी अतिरिक्त lwrs के वर्ग का वर्णन कर सकते हैं, एक अतिरिक्त बाइनरी और एक टर्नरी ऑपरेशन का उपयोग कर सकते हैं। द्वारा दो संचालन को नकारना$w(a,b)$ तथा $r(a,b,c)$, की विविधता से परिभाषित विविधता पर विचार करें $\cdot$ और पहचान $$r(a,b,w(a,b)\cdot a)=a,\\ r(a,b,w(a,b)\cdot b)=b.$$ ध्यान दें कि यदि वे पहचान हैं, तो किसी के लिए भी $a\neq b$ हमारे पास ये होना चाहिए $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$, जिसका तात्पर्य है सूजी $(S,\cdot)$ ऐसे किसी भी बीजगणित के लिए लेखक है $(S,\cdot,w,r)$।
इसके विपरीत, यदि अर्धवृत्त $(S,\cdot)$ लेखक है, तो किसी के लिए भी $a\neq b$ वहाँ कुछ $w(a,b)$ ऐसा है कि $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$। परिभाषित करने के लिए उन मूल्यों का उपयोग करें$w$, स्थापना $w(a,a)$मनमाने ढंग से। अब हम परिभाषित कर सकते हैं$r(a,b,c)$ इस तरह से कि यह बराबर हो $a$ अगर $c=w(a,b)\cdot a$, $b$ अगर $c=w(a,b)\cdot b$ और अन्य सभी के लिए कोई भी मूल्य लेता है $c$। फिर$(S,\cdot,w,r)$ ऊपर की पहचान को संतुष्ट करता है।