विश्लेषणात्मक निरंतरता के कुछ शुरुआती उदाहरण क्या हैं?
मैं सोच रहा हूं कि रीमैन को कैसे पता था $\zeta(z)$एक बड़े डोमेन के लिए बढ़ाया जा सकता है। विशेष रूप से, एक जटिल मूल्यवान फ़ंक्शन के डोमेन का स्पष्ट रूप से विस्तार करने वाला पहला व्यक्ति कौन था और फ़ंक्शन क्या था?
जवाब
(विस्तारित 1/26/21
पहले मुझे गैर-देशी अंग्रेजी बोलने वालों के लिए इंगित करें कि लेख 'क' वाक्यांश में 'एक जटिल-महत्वपूर्ण फ़ंक्शन' का उपयोग करने का अर्थ है कि प्रश्न केवल रीमैन या किसी अन्य ज़ीटा फ़ंक्शन के संदर्भ में नहीं है। इसमें कोई भी फ़ंक्शन शामिल है जिसका डोमेन वास्तविक के कुछ सेट है, इसलिए मैं इस प्रश्न की व्याख्या करता हूं कि "कौन है जिसने किसी महत्वपूर्ण फ़ंक्शन के डोमेन के विस्तार को वास्तविक के कुछ सेट से परिसर के कुछ निरंतर डोमेन तक प्रकाशित किया है।" और वह समारोह क्या था? " मेरे लिए, विश्लेषणात्मक विश्लेषण शब्द का सटीक अर्थ और यह अद्वितीय है या नहीं यह एक अलग प्रश्न है।
पहला वाक्य और कई टिप्पणियां रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन पर केंद्रित हैं। रीमैन अकेले नहीं खड़े थे और आरएच पर कभी-कभी लगभग जुनूनी ध्यान देने की तुलना में उनके हित बहुत व्यापक थे। उनके हितों में बहुत सारे जटिल विश्लेषण शामिल थे, इसलिए उनके लिए वास्तविक कार्यों के विस्तार से जटिल कार्यों पर विचार करना स्वाभाविक था।
विश्वास करना मुश्किल है (कुछ प्रकार के क्षेत्रीय पूर्वाग्रह की स्मैक) जो कि यूलर से पहले कोई गणितज्ञ नहीं था, एक सुबह उठकर सोचा, "क्या होगा अगर मैं -1 के उस पागल वर्ग को शामिल करने के लिए अपने वास्तविक सूत्रों को संशोधित करूं?" रोजर कोट्स को खगोल विज्ञान और खगोलीय यांत्रिकी में उनकी रुचि के साथ सार्थक रूप से ऐसा करने के लिए प्रेरित किया गया था; ट्रिगर कार्यों की श्रृंखला प्रतिनिधि, उनके व्युत्क्रमों, कैलकुलस और न्यूटोनियन यांत्रिकी पर उनके सहयोगी न्यूटन के काम से परिचित; 1600 की शुरुआत में नेपियर द्वारा शुरू की गई लॉगरिदमिक तालिकाओं का उपयोग, पृथ्वी और आसमान का सर्वेक्षण करने में बड़ी संख्या के साथ गणना से निपटने के लिए; और प्रक्षेप (कोट्स 'और न्यूटन के) पर काम करते हैं।
मुझे फिर से इस बात पर जोर देना चाहिए कि कोट्स न्यूटन के पॉवर सीरीज़ के रचनात्मक उल्लंघन से परिचित थे (एक सूत्र में औपचारिक श्रंखला के लिए लैग्रेग इनवर्जन फॉर्मूला का एसोसोकेराइडॉन वर्जन शामिल है, नीचे फैरारो देखें), जिसमें घातीय कार्य के लिए, और, जैसा कि ग्रिफ़िथ द्वारा दिया गया है फ्रीबर्गर द्वारा पोस्ट " लॉगरिथम का निर्माण " पर टिप्पणी करें : लॉगरिदम की इन तालिकाओं के बिना सममित हाइपरबोला के तहत क्षेत्र के निकोलस मर्केटर से कोई सिद्धांत नहीं होगा एक्स अक्ष के साथ दूरी के लॉग के बराबर, और न ही इसहाक न्यूटन के प्रत्यावर्तन के। हाइपरबोला फार्मूला एंटीलोगरिथम के लिए अनंत श्रृंखला प्राप्त करने के लिए $e^x$। (मर्केटर मैप्स, डॉट्स को देखने के लिए शुरुआत?) वास्तव में, फेरारो ने 74 और 75 के "द राइज़ एंड डेवलपमेंट ऑफ सीरीज़ ऑफ़ द सिरीज ऑफ द थ्री 1820 के दशक" में चर्चा की कि न्यूटन ने लॉगरिदम के लिए पावर सीरीज़ को कैसे उल्टा किया।$-\ln(1-x)$ एंटीलोगैरिथ्म की शक्ति श्रृंखला प्राप्त करने के लिए $1- e^{-x}$। (ज्यामिति और विश्लेषण की अपनी शानदार महारत के साथ न्यूटन ने निश्चित रूप से दो श्रृंखलाओं के डेरिवेटिव के बीच यहां सरल व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय संबंध को नोट किया होगा।)
नतीजतन, यह स्वाभाविक लगता है कि कैलकुलस के जन्म और उसके संबंध में पावर सीरीज़ और कंपोजिशन के उलट होने के कारण, कोट्स ने 1714 में लिखा, जब यूलर सात साल का था,
$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$
यूलर के 1748 शानदार फॉर्मूला (सीएफपी विकिपीडिया ) का नवजात संस्करण
$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$
व्युत्पन्न (या प्रवाह) के साथ एक स्पष्ट जांच घातीय के स्पष्ट उपयोग के बिना सूत्र की पुष्टि करता है
$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$
जो मुझे यकीन है कि न्यूटन और कोट्स के लिए एसओपी था - इस मामले में, चेन नियम के उर्फ उलटा फ़ंक्शन प्रमेय का आवेदन; $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, जो वास्तव में सूत्र को स्पष्ट करता है।
"एक्सपोनेंशियल एंड लॉगरिदमिक कॉन्सेप्ट्स का इतिहास" में, कजोरी बताते हैं कि कैसे जॉन बर्नौली ने 1702 में वास्तविक से काल्पनिक में परिवर्तित एक अंतर समीकरण के समाधान पर विचार किया और कोट्स को अपने सूत्र की व्युत्पत्ति दी, जो 1714 और 1722 में प्रकाशित कोट्स। कजोरी यह भी दावा करता है कि बाद में यूलर काल्पनिक संख्याओं का उपयोग करने से नहीं कतराते थे।
यूलर के सूत्र के अनुसार आज यूलर के सहयोगियों को विकास के लिए इंतजार करना पड़ा और घातीय फ़ंक्शन के प्रतीकात्मक प्रतिनिधि के सहयोगियों ने $\exp(z) = e^z$ साथ से $e$यूलर की स्थिरांक होने के नाते, कभी-कभी नेपियर के स्थिरांक के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि यह नेपियर के लॉग टेबल में होता है। यह बहुत अधिक पथरी के बाद था जब लॉग में अंतर्निहित Huygens और अन्य लोगों द्वारा पता लगाया गया था। एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन को कभी-कभी लॉग की प्राथमिकता को दर्शाते हुए 'एंटीलोगेरिथ्म' के रूप में भी संदर्भित किया जाता था, जैसा कि लॉग पोस्ट में बताया गया है।
कोटे का लघुगणकीय सूत्र धनात्मक धरातल से एक विस्तार है, जो केवल एक जगह से अधिक कठिन तरीके से लघुगणक के तर्क की जटिल संख्याओं के दायरे में आता है। $n$ की श्रृंखला में $\zeta(n)$ वास्तविक रेखा पर वास्तविक संख्याओं के द्वारा और फिर जटिल विमान में अन्य संख्याओं के लिए।
कोट्स पर विकिपीडिया लेख के अनुसार, उन्होंने 1722 में एकता की जड़ों पर एक महत्वपूर्ण प्रमेय प्रकाशित किया (और पहली बार एक रेडियन का मान दिया) "थियोरमाटा ट्यूमर लॉजोमेटा ट्यूमर ट्रायगोनोमेटा डाटारियम फ्लुक्सिनम फ्लुएंटिस एग्जिबिनिया, मेथोडम मेन्सरारम अल्टेरसियस एक्स्टेंसम "(प्रमेय, कुछ लघुगणक, कुछ त्रिकोणमितीय, जो आगे विकसित किए गए उपायों की विधि द्वारा दिए गए प्रवाह के प्रवाह को उत्पन्न करते हैं)। उन्होंने अच्छी तरह से समझा ट्रिगर किया, और इस दृष्टिकोण से, कोट्स और यूलर के सूत्र दोनों को समाधानों की निरंतरता के रूप में माना जा सकता है$|x| = 1$जटिल विमान में। समाधान डोमेन 1 और -1 और श्रेणी 1 के साथ बहुत ही सरल कार्य को परिभाषित करते हैं, जो तब जटिल डोमेन में त्रिज्या 1 के एक चक्र के रूप में विश्लेषणात्मक रूप से जारी है - एक प्रकार का प्रक्षेप ( रोजर कोट्स पर विकी में प्रक्षेप लिंक पर होवर) ) एक साधारण कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करना$|f(x)|=1$। (निरंतर जटिल डोमेन वाले (न्यूटन और sinc / कार्डिनल श्रृंखला के प्रक्षेप से संबंधित) असतत पूर्णांक डोमेन वाले फ़ंक्शंस से इंटरपोलेशन / विश्लेषणात्मक निरंतरता के प्रकार के अन्य उदाहरण इस एमओ-क्यू और इस एमएसई-क्यू में दिए गए हैं ।)
एक व्यापक परिप्रेक्ष्य से कोट्स का लॉग फॉर्मूला, कॉम्प्लेक्स की निरंतर मैपिंग के लिए वास्तविक संख्याओं से मैपिंग के रूप में लॉग की विश्लेषणात्मक निरंतरता का एक स्पष्ट उदाहरण है। बेशक, अवगत था कि (वास्तव में उपयोग किया है, और दी गई है कि लॉग के साथ परिचित किसी को भी पता था के लिए लिया जाएगा), के लिए$u,v > 0$,
$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$
इसलिए उन्होंने सकारात्मक रीलों से कॉम्प्लेक्स में लॉग की विश्लेषणात्मक निरंतरता का सबसे कठिन हिस्सा लिखा (यद्यपि स्पष्ट रूप से गुणन के लिए लेखांकन नहीं )
$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$
रेफरी विकिपीडिया: जॉन नेपियर , द हिस्ट्री ऑफ़ लॉगरिथम , लोगारीथम , रोजर कोट्स , यूलर की पहचान , यूलर का फॉर्मूला ।
जटिल तर्कों के साथ यूलर समन के अलावा, यूलर ने गामा फंक्शन के लिए फैक्टरियल को गामा फ़ंक्शन तक विस्तारित करने के लिए सबसे पहले गामा फ़ंक्शन के लिए अपने हाइब्रिड मेलिन-लाप्लास अभिन्न प्रतिनिधि के साथ एक आंशिक कैलकुलस विकसित करने के लिए किया था ( आधुनिक भौतिकी के लिए यूलर विरासत देखें "दातोली और डेल फ्रेंको और एमएसई-क्यू ने ऊपर उल्लेख किया है)। बीटा फ़ंक्शन के लिए यूलर का अभिन्न अंग सामान्यीकृत द्विपद गुणांक के लिए समान है, जो न्यूटन (फिर से, कोट्स के सहयोगी) ने पूर्णांक द्विपद गुणांक के वास्तविकताओं के विस्तार के लिए किया था। दुर्भाग्य से, यूलर ने जटिल संख्याओं के विस्तार को पूरी तरह से नहीं समझा (अरगंड और वेसल बाद में आते हैं) अन्यथा उन्होंने कॉची, लिउविले और रीमैन को जटिल विश्लेषण के कैलकुलेशन पर स्कूप किया होगा।
रीमैन ज़ेटा समारोह के एक प्रागितिहास के लिए, ओसवाल्ड और स्टुडिंग द्वारा "एडेक्ट्स ऑफ़ ज़ेटा-फंक्शन थ्योरी ऑफ़ द गणितीय वर्क्स ऑफ़ एडोल्फ हर्विट्ज़ " देखें। लेखक यह नहीं कहते कि क्या ज़ेटा के प्रागितिहास की उनकी चर्चा में वास्तविक या जटिल है। रीमैन के विचार करने से पहले यूलर और अन्य लोगों के लिए यह स्वाभाविक था$s$जटिल। यूलर के पास ज़ेटा के पूर्णांक तर्कों के लिए पीआई की शक्तियों का संघ है जो अपने शानदार फार्मूला और गामा फ़ंक्शन के लिए अपने प्रतिबिंब सूत्र के माध्यम से कॉम्प्लेक्स के लिए एक कनेक्शन का सुझाव देता था, लेकिन तब उसके पास रीमैन के इस दृष्टिकोण से चमकने के लिए बहुत कुछ नहीं था मेलिन ने प्रतिनिधि को बदल दिया। जिसके माध्यम से रीमैन वास्तव में ज़ेटा के नए गुणों को चिढ़ाते थे, यूलर के प्रतिबिंब फार्मूला को लागू करने के लिए हेंकेल समोच्च ज़ेता को सही आधे विमान से पूर्ण जटिल विमान में देने के लिए, और गैर निर्धारित करने के लिए एक चतुर एल्गोरिथ्म विकसित करने के लिए अन्य घटनाओं के बीच -trivial शून्य।
एक लाल हेरिंग प्रक्षेप और विश्लेषणात्मक निरंतरता के बीच एक कृत्रिम द्विभाजन को मजबूर करने के लिए कुछ अदूरदर्शी प्रयास लगता है। मैं इंगित करता हूं कि (और न्यूटन के) हित और कौशल का वास्तविक क्षेत्र में प्रक्षेप (निश्चित रूप से खगोलीय कक्षाओं से संबंधित) में उपयोग करने के लिए इंगित करने के लिए कि वह विश्लेषणात्मक निरंतरता बनाने के लिए पूर्वनिर्मित था। इसके अलावा, कोई डिपोटॉमी नहीं है। कई एमओ और एमएसई प्रश्नों में, मैं दिखाता हूं कि गामा फ़ंक्शन के लिए फैक्टरियल की विश्लेषणात्मक निरंतरता से संबंधित प्रक्षेप कैसे होता है, बर्नौली नंबर रीमैन ज़ेटा को, हुरविट्ज़ ज़ेटा को बर्नोली पॉलीओमियल्स, और व्युत्पन्न की पूर्णांक शक्तियों की क्लासिक गणना। अन्य गैर-प्रक्षेपवक्र / एसी (जैसे, इस एमओ-क्यू या इस एमओ-क्यू पर शुरू ) के बीच जटिल गैर-पूर्णांक मानों पर । ये sinc फ़ंक्शन / कार्डिनल श्रृंखला प्रक्षेप, द्विपद विस्तार प्रक्षेप, और / या न्यूटन प्रक्षेप और संभवतः अन्य (जैसे, यह MO-Q ) से संबंधित हो सकते हैं। कुछ और परिष्कृत संघों का संबंध महलर की प्रमेय और इस एमओ-क्यू के उत्तर में रेफ से है । रीमैन के उपहारों का एक पहलू उनकी अंतर्दृष्टि थी कि यह मेलिन परिवर्तन से कैसे संबंधित है।
(एक्सेसिबिलिटी पूर्वाग्रह के लिए, खानमैन और टावर्सकी देखें।)