Adalah $D_8$ subkelompok normal $S_4$?

Question

Saya mencoba untuk menunjukkan itu $D_8$ bukan merupakan subgrup normal dari $S_4$, Saya telah menunjukkan itu $D_8$ adalah Subkelompok $S_4$.Lalu, biarkan $r=\langle(1234)\rangle$ dan $s =\langle(14)(23)\rangle$.Lalu, kita lihat itu $D_8$ adalah bagian dari $S_4$ dan karena itu kelompok jadi $D_8$ adalah subgrup dari $S_4$.

Buktikan itu $D_8$bukan subkelompok normal. Di$D_8$ ada dua elemen keteraturan $4$Jadi, kami ambil $\sigma (1234) \sigma^{-1}$ yang seharusnya masuk $H$Sekarang konjugasi mempertahankan struktur siklus yang kita pilih $\sigma$ sedemikian rupa sehingga elemen konjugasi bukan miliknya $H$Memilih siklus seperti itu dimungkinkan karena ada $6$ 4 siklus masuk $S_4$ dan hanya ada dua di antaranya $D_8$Karena saya telah menunjukkannya untuk satu elemen, bahwa konjugasi tidak ada $D_8$Apakah saya perlu menunjukkannya untuk elemen lainnya?

Answer 1

Sebuah subkelompok $H$ dari sebuah grup $G$ normal jika dan hanya jika untuk semua $g\in G$ dan $h\in H$, $ghg^{-1}\in H$.

Sejak Anda menunjukkan bahwa ada $g\in S_4$ seperti yang $g(1234)g^{-1}\notin D_8$, cukup untuk menyimpulkan itu $D_8$ bukan merupakan subgrup normal dari $S_4$.

Answer 2

Jika kita melihat elemennya $1,2,3,4$ sebagai simpul dari sebuah persegi, dan pertimbangkan grup dihedral dari persegi itu, ini memberi kita satu salinan $D_8$. Kami dapat memperoleh salinan lain dengan menyusun ulang.

Ada $6$ cara memesan $4$ simpul (dengan asumsi kita melihat pergeseran siklik seperti $1,2,3,4$ dan $2,3,4,1$ sebagai urutan yang sama), menghasilkan $3$ salinan berbeda dari $D_8$ (karena pasangan urutan "berlawanan" seperti $1,2,3,4$ dan $1,4,3,2$menghasilkan kelompok yang sama; cukup balikkan persegi untuk berpindah dari satu urutan ke urutan lainnya).

Tiga salinan berbeda ini $D_8$ berkonjugasi satu sama lain, misalnya karena mereka adalah Sylow $2$-subgroups (mereka memiliki urutan yang benar), dan semua subgrup Sylow dari urutan tertentu adalah konjugasi. Secara khusus mereka tidak normal.