Annihilator Modul Sederhana

Question

Membiarkan $C$ menjadi yang dihasilkan dengan baik $R$-aljabar dimana $R$adalah cincin komutatif unital. Membiarkan$S$ jadilah orang yang sederhana $C$-modul. Tunjukkan bahwa annihilator dari$S$ di $R$ adalah cita-cita maksimal.

Apa yang saya coba adalah: Kapan $C=R$ maka itu adalah konsekuensi langsung dari kesederhanaan $S$ sebagai sebuah $R$-modul. Selanjutnya, sejak$S$ sederhana saja $S$ adalah siklik (mis $S=Cy$ untuk bukan nol $y\in S$). Pertimbangkan petanya$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ Kemudian $\ker(f)$ adalah penghapus dari $S$ di $C$ dan $\ker(f) \cap R$ adalah penghapus dari $S$ di $R$. Saya telah menunjukkan bahwa itu adalah cita-cita$R$tapi saya tidak punya ide untuk terus menunjukkan maksimalitas. Apakah itu arah yang benar atau ada hal lain yang harus saya pertimbangkan untuk menunjukkan maksimalitas?

Answer 1

Saya mendapat ide: Jika kita membatasi peta $f: C \to S$ di $R$. Kemudian kita memiliki isomorfisme di antaranya$f(R)=Ry$ dan hasil bagi $R/(\ker(f) \cap R)$, dimana $\ker(f) \cap R$ adalah penghapus dari $S$ di $R$.

Jadi untuk ditunjukkan $R/(\ker(f) \cap R)$ adalah maksimal, itu sudah cukup untuk menunjukkannya $Ry$ sesederhana file $R$-modul. Membiarkan$ry \in Ry$menjadi elemen bukan nol. Lalu jelas$Ry$ mengandung $\langle ry \rangle$ sebagai $R$-modul. Sebaliknya, sejak$ry \in Ry \subset S$ bukan nol, $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. Begitu$Ry = \langle ry \rangle$ untuk semua bukan nol $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ sederhana dan $R/(\ker(f) \cap R)$ maksimal.

Tolong beri tahu saya jika ada ambiguitas dalam jawaban saya.