Apakah ada banyak L-rig?

Question

$\DeclareMathOperator{\Q}{\mathbb{Q}}$Sebut "L-rig" kelas apa saja $\mathcal{L}$ dari L-fungsi representasi automorfik $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{A}_{\Q})$ untuk beberapa $n$ milik kelas Selberg yang ditutup di bawah kedua produk biasa (yang akan kami sebutkan dengan $\times$) dan konvolusi Rankin-Selberg (yang akan kami sebutkan dengan $\otimes$), berisi elemen netral masing-masing $s\mapsto 1$ dan $\zeta$, dan memenuhi pembuatan properti aljabar abstrak $(\mathcal{L},\times,\otimes,s\mapsto 1,\zeta)$ rig (cincin tanpa negatif).

Apakah hasil utama dalam automorfik $m$produk tensor lipat GL (2), Dieulefait 2020 menyiratkan keberadaan tak terhingga banyak L-rig non-trivial?

Apalagi yang dilambangkan dengan $\mathcal{M}$rig L maksimal yang dimasukkan, dapatkah kita melihatnya sebagai analog untuk L-rig dari penutupan bidang yang dapat dipisahkan? Jika ya, apakah itu berhasil$\operatorname{Aut}(\mathcal{M})$ isomorfik ke beberapa kelompok Galois absolut seperti, katakanlah, $\operatorname{Gal}(\bar{\Q}/\Q)$?

Edit 25 Oktober 2020: Setidaknya ada 3 L-rig yang berbeda yaitu yang trivial $\mathcal{L}_{0}$ dihasilkan oleh $s\mapsto 1$ dan fungsi Riemann Zeta, $\mathcal{M}$ dan sub-L-rig-nya $\mathcal{D}$terdiri dari semua L-fungsi mandiri. Asumsi$\operatorname{Aut}(\mathcal{M})$ adalah isomorfik untuk beberapa kelompok Galois absolut dan analog untuk L-rig dari teorema fundamental teori Galois, kelompok Galois absolut ini tidak dapat terbatas (karena semua kelompok Galois seperti itu berada paling banyak $2$). Mungkin kemudian bisa dibuktikan$\operatorname{Aut}(\mathcal{M})$ tak terbatas.

Sunting 30 Oktober 2020: mungkin cara untuk menunjukkan bahwa kita menghadapi kelompok yang tidak terbatas adalah dengan membuktikannya $\displaystyle{\mathcal{M}=\varprojlim_{i\in I}\mathcal{L}(F_{i})}$ dan $\displaystyle{\operatorname{Aut}(\mathcal{M})\cong\varprojlim_{i\in I}\operatorname{Gal}\left(\frac{\mathcal{L}(F_{i})}{\mathcal{L}_{0}}\right)}$, dimana $\mathcal{L}(F)$ adalah L-rig yang dihasilkan oleh $F$.

Lebih tepatnya kelompok Galois yang harus dipertimbangkan $\operatorname {Gal}(\mathcal{K}_{\mathcal{L}}(F_{i})/\mathcal{K}_{\mathcal{L}_{0}})$ dengan $\mathcal{K_{L}}$ bidang yang dihasilkan oleh L-ring $\mathcal{L}$, yang bisa kita sebut "L-field". Membuktikan$\mathcal{K}_{\mathcal{L}_{0}}\cong\mathbb{Q}$ mungkin menyiratkan itu $\operatorname {Aut}(\mathcal{M})\cong\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$.

Edit 1 November 2020: mengikuti jawaban oleh nguyen quang do in
https://math.stackexchange.com/questions/2782069/abstract-properties-of-the-absolute-galois-group-over-mathbbq dan dengan asumsi $\operatorname{Aut}(\mathcal{M})$ memiliki struktur kelompok Galois absolut, maka ia adalah kelompok tak terbatas.

Edit 11 November 2020: sebagai $\mathcal{L}_{0}$ adalah cincin-L yang dihasilkan oleh elemen netral, $\mathcal{K}_{\mathcal{L}_{0}}$ adalah bidang-L yang dihasilkan oleh elemen netral tersebut, dan karenanya bersifat isomorfik ke $\mathbb{Q}$. Sekarang, maksimalitas$\mathcal{M}$ menyiratkan bahwa jika perpanjangan $\mathbb{Q}$ isomorfik menjadi $\mathcal{K}_{\mathcal{M}}$ adalah aljabar, maka itu adalah penutupan aljabar "nya" $\bar{\mathbb{Q}}$.

Sunting 12 Desember 2020: tentukan "grup simetri" $\operatorname{Sym}(F_{\pi})$ dari suatu elemen $F_{\pi}:s\mapsto L(\pi,s)=\prod_{v}L_{v}(\pi,s)$ dari $\mathcal{M}$ sebagai penstabilnya di bawah aksi $\operatorname{Aut}(\mathcal{M})$ di $\mathcal{M}$. Kemudian permutasi apapun$\sigma$ dari tempat-tempat itu $v$ Daun-daun $F_{\pi}$ invariant, sehingga jika menginduksi automorfisme $\mathcal{M}$, yang akan kami tunjukkan dengan $\phi_{\sigma}$, yang terakhir menginduksi isomorfisme antara $\mathbb{Q}_{v}$ dan $\mathbb{Q}_{\sigma(v)}$. Tapi$v\neq v'\Longrightarrow\mathbb{Q}_{v}\not\cong\mathbb{Q}_{v'}$ dan khususnya, $\sigma$ menginduksi automorfisme $\mathbb{R}$, karenanya bisa jadi identitas atau konjugasi kompleks. Karenanya$\operatorname{Sym}(F_{\pi})\cong\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ jika $\pi$ menyesatkan diri sendiri, dan sebaliknya sepele.

Answer 1

Konvolusi Rankin-Selberg dari fungsi Dirichlet L kuadrat dengan dirinya sendiri adalah fungsi Riemann zeta. Oleh karena itu rig dihasilkan oleh$\{1, \zeta(s), L(s, \chi_d)\}$ terdiri dari semua produk hingga (dan kekuatan) dari $\zeta(s)$ dan $L(s, \chi_d)$. Secara khusus, ada banyak rig-L yang tak terhingga.

Jika Anda mulai dengan $\{1, \zeta(s), L(s, \chi)\}$ dimana $\chi$ adalah karakter Dirichlet primitif, lalu konvolusi Rankin-Selberg memberimu $L(s, \chi^j)$ untuk bilangan bulat positif apa pun $j$. Rig-L itu dihasilkan oleh himpunan terbatas, tergantung pada urutannya$\chi$. Jadi Anda mendapatkan banyak rig-L non-isomorfik yang tak terhingga.

Perhatikan bahwa jika $\chi^j$ tidak primitif, kalau begitu $L(s, \chi^j)$ harus diinterpretasikan sebagai fungsi-Dirichlet L dari karakter primitif yang menginduksi.