Bagaimana cara menghitung $S^{(2)}(E / \mathbb{Q}))$ dari $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})$ dan $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})$?

Question

Saya melihat contoh 4.10 (Dari bab X) dari buku Silverman "The Arithmetic of Elliptic Curves" Edisi ke-2, yaitu tentang Penurunan melalui dua-isogeni (proposisi 4.9). Contohnya tentang komputasi$E(\mathbb{Q}) / 2 E(\mathbb{Q})$ untuk kurva $$ E: y^2 = x^3 - 6x^2 +17x .$$ Kurva itu $2$-Bisogen dengan $E$ aku s $$ E' : Y^2 = X^3 + 12X^2 - 32X .$$

Kami memiliki isogeni biasa $\phi: E \to E'$ dan isogeni ganda $\hat \phi : E' \to E$ dengan $\hat \phi \circ \phi = 2$ (rumus yang tepat didefinisikan dalam proposisi 4.9).

Dia menghitungnya $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) = \{ \pm 1, \pm 2\}$ dan $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) = \{ 1, 17 \}.$

Saya ingin menghitung $2$-Kelompok selmer $S^{(2)}(E / \mathbb{Q})$, dan dari apa yang saya pahami, saya perlu menggabungkan kedua informasi di atas (mirip dengan bagaimana Anda dapat menggabungkan $E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))$ dan $E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))$ mendapatkan $E(\mathbb{Q}) / 2E(\mathbb{Q}))$. Adakah yang bisa menjelaskan bagaimana saya bisa melakukan ini?

NB Saya merasa sangat terbebani oleh buku ini secara umum, jadi jika saya salah, beri tahu saya.

Answer 1

Dalam contoh Anda, informasi penting yang Anda butuhkan adalah komentar X.4.7 dan fakta itu $$E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))=S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})=\{ \pm 1, \pm 2\} \text{ and } E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))=S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})=\{ 1, 17 \},$$ karena kelompok-kelompok Tate-Shafarevich yang relevan itu sepele, identifikasi melalui "the $x$-coordinate "(kecuali untuk dua titik torsi $(0,0)$).

Jadi kami memiliki komentar X.4.7 yang mengatakan itu $$ E'(\mathbb Q)[\hat \phi]/\phi(E(\mathbb Q)[2])\to E'(\mathbb Q)/\phi(E(\mathbb Q)) \to E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) \to E(\mathbb Q)/\hat \phi (E'(\mathbb Q)) \to 0$$ tepatnya, makhluk morfisme kedua $\phi$.

Sekarang, $$E'(\mathbb Q)/\hat \phi(E(\mathbb Q)) =\langle\ \overline{(0,0)}\ , \ \overline{(8,-32)}\ \rangle$$ dan peta $\phi$ mengirim $(0,0)$ untuk $0$ (titik tak terhingga) (ini tentu saja umum, sejak $\phi$ adalah pengiriman 2-isogeni $(0,0)$ untuk $0$), dan mengirim $(8,-32)$ ke sebuah elemen $\phi(8,-32)$tidak $2$-torion (yang saya tinggalkan untuk Anda hitung).

Begitu $$S^{(2)}(E/\mathbb Q)=E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) =\langle\ \overline{\phi(8,-32)}\ , \ \overline{(0,0)}\ \rangle.$$ Sekarang Anda dapat menggunakan deskripsi yang Anda suka dari elemen $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$.

Sunting : Dalam kasus umum, ada urutan yang tepat alami$$\to S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) \to 0$$ tapi saya tidak yakin tentang apa yang harus diletakkan di sisi kiri.

Salah satu cara yang mungkin untuk memahami urutan ini adalah dengan mengamati itu $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ adalah kelompok penutup Galois yang tidak dibatasi $E$ dengan grup Galois "$E[2]$"(dan dengan poin secara lokal di mana-mana), dan 2-isogeni berasal dari a $\mathbb Z/2\mathbb Z \subset E[2]$: peta $ S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) $ sesuai dengan peta "diperbaiki oleh $\mathbb Z/2\mathbb Z$", seperti dalam teori medan Galois biasa.

Peta $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ sesuai untuk melihat setiap penutup Galois tanpa bingkai $\psi:D\to E'$ dari $E'$ dengan kelompok Galois $\mathbb Z/2\mathbb Z$ ke sampul Galois $E$ melalui $\phi$, yaitu $\phi\circ \psi:D\to E'\to E$.