Batas bawah Cramer-Rao untuk $g(\lambda)$ = $e^{-\lambda}$ kapan $x_i \sim Pois(\lambda)$

Question

Membiarkan $x_1 ... x_n$ menjadi $Pois(\lambda)$, $\lambda>0$ dan $n \geq 2$. Menggunakan$W(X)=I(X_1=0)$ untuk memperkirakan $g(\lambda)=e^{-\lambda}$. Selain itu,$T(X)= \sum_{i=1}^n X_i$ adalah statistik yang cukup untuk $\lambda$.

Saya sudah membuktikannya $\phi(T(X))=(1-\frac{1}{n})^{\sum_{i=1}^n X_i}$ adalah penaksir yang tidak bias $e^{-\lambda}$.

Saya ingin membuktikan jika $\phi(T(X))$ mencapai batas bawah Cramer-Rao, tetapi saya tersesat saat mencoba menghitungnya dengan menerapkan definisi.

Answer 1

Pertama, mari kita hitung varians $\phi(T(X))$:

$$\begin{align} \mathbb E[\phi(T(X))^2]&=\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^k}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2k}\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{(n\lambda)^k}{k!}\left(1-\frac 2n+\frac 1{n^2}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(n\lambda-2\lambda+\frac{\lambda}{n}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\cdot e^{n\lambda-2\lambda+\frac\lambda n}\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)} \end{align}$$

Dan, menggunakan fakta itu $\phi(T(X))$ tidak bias:

$$\begin{align} \text{Var}(\phi(T(X)))&=\mathbb E[\phi(T(X))^2]-\mathbb E[\phi(T(X))]^2\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)}-e^{-2\lambda}\\ &=e^{-2\lambda}\cdot\left(e^{\lambda/n}-1\right) \end{align}$$

Sekarang, kita harus membandingkan ini dengan ikatan Cramér-Rao. Fungsi kemungkinan diberikan oleh:

$$\begin{align} \ell(\lambda)&=\sum_{i=1}^n\log\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{X_i}}{X_i!}\right)=-n\lambda + \log(\lambda)T(X)-\sum_{i=1}^n\log(X_i!) \end{align}$$

Kemudian, kita bisa mendapatkan informasi Fisher:

$$\begin{align} \mathcal I_F&=-\mathbb E\left[\frac{\partial^2\ell(\lambda)}{\partial\lambda^2}\right]=\mathbb E\left[\frac{T(X)}{\lambda^2}\right]=\frac n\lambda \end{align}$$

Akhirnya, Cramér-Rao menuju $g(\lambda)$ aku s:

$$\frac{g'(\lambda)^2}{\mathcal I_F}=\frac{e^{-2\lambda}}{n/\lambda}=\frac{\lambda}{n}e^{-2\lambda}$$

Yang berbeda dari varian yang kita temukan sebelumnya, sehingga penduga yang Anda temukan tidak mencapai batas Cramér-Rao . Anda juga dapat membuktikan, dengan menggunakan ekspansi Taylor, bahwa estimator Anda efisien asimtotik , yaitu varians dari estimator tersebut secara asimtotik sama dengan ikatan Cramér-Rao.

Semoga bermanfaat!