Berapa nilai 'b'? [duplikat]

Question

Membiarkan $f:(0,\infty)\to \Bbb{R}$ dapat dibedakan dan $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=1$ dan $\lim\limits_{x\to \infty}f'(x)=b$. Temukan nilai$b$.

Saya berasumsi $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$. Saya menemukan di atas benar. Tapi bagaimana membuktikan secara formal? Saya ingin membuktikannya dengan MVT . Bagaimana melanjutkannya? Seperti yang diberikan$f$dapat dibedakan maka kita dapat menggunakan rumus turunan. Tapi bagaimana caranya? Bantuan apa pun akan dihargai.

Answer 1

Metode alternatif: jika $f'(x) → b >0$, maka menurut definisi, ada beberapa $X>0$ seperti yang

$$x>X \implies |f'(x) - b| > b \implies f'(x) > b/2.$$

Kemudian, untuk $x > X$,

$$f(x) = f(X) + \int_X^x f'(y)\; dy \geq f(X) + \int_X^x b/2\; dy = f(X) + \frac b2(x-X).$$

Yaitu, $f(x) \geq \frac b2(x-X).$

(Demikian pula jika $b<0$.)

Answer 2

$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=1$ atau $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{e^xf(x)}{e^x}=1$. ini$\dfrac{\infty}{\infty}$ bentuk.

Sebagai $f(x)$ berbeda dalam ($0$, $\infty$), menggunakan aturan L'Hospital ,$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{e^xf(x)}{e^x}= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{e^xf(x)+ e^xf'(x)}{e^x}= \lim\limits_{x \to \infty} f(x)+ f'(x)$ yang diberikan untuk menjadi sama dengan $1$.

Karena itu $\lim\limits_{x \to \infty}f'(x)=0$.