Bingung dengan dimensi dan embeddings
Saya baru mengenal topologi dan mohon maaf sebelumnya atas pertanyaan yang mungkin sangat sederhana (atau filosofis) ini.
Saya selalu menganggap torus sebagai permukaan berbentuk donat $\mathbb{R}^3$. Namun, setelah saya mulai mempelajari topologi, saya menemukan bahwa torus adalah$S^1 \times S^1$ dan secara alami didefinisikan dalam $\mathbb{R}^4$. Tetapi pada saat yang sama, seperti yang saya pahami, representasi 3d populer dari sebuah torus adalah embedding in$\mathbb{R}^3$, jadi, menurut definisi embedding, torus 4d alami bersifat homeomorfik untuk memudahkan visualisasi 3d torus.
Ketika kita mengambil hasil bagi sebuah persegi (dengan mengidentifikasi sisi) untuk membangun sebuah torus, bukankah kita menipu diri sendiri dengan memvisualisasikannya $\mathbb{R}^3$, karena kita baru saja mendapatkan "irisan" dari torus 4d asli. Saya mungkin telah menjawab pertanyaan saya sendiri di sini dengan menyatakan bahwa embedding adalah homeomorfisme, tetapi saya masih ingin memahami apa hubungan antara dimensi, embedding, dan homeomorfisme .
Torus adalah 2 dimensi, karena 2 titik cukup untuk mendefinisikannya (masing-masing satu titik $S^1$), tetapi setiap lingkaran secara alami disajikan dalam $\mathbb{R}^2$, demikian yang kita butuhkan $\mathbb{R}^4$.
Apakah kita kehilangan "informasi" ketika kita "memproyeksikan" torus dari $\mathbb{R}^4$ untuk $\mathbb{R}^3$? Apakah hanya kehilangan penglihatan atau juga topologi?
Saya bisa membayangkan mengambil 3-bola $\mathbb{R^3}$ dan "menyusutkan" menjadi 2-bola (disk) $\mathbb{R}^2$ oleh $z \to 0$. Selama transisi dari$\mathbb{R}^3$ untuk $\mathbb{R}^2$ kami jelas kehilangan informasi visual dan topologi (n-ball bersifat homeomorfik bagi m-ball $\iff$ n = m).
Apakah homeomorfisme mempertahankan dimensi "dalam", tetapi tidak "peduli" tentang ruang luar (ekstrinsik)?
Jawaban
Saya tidak benar-benar memandang torus 'alami' sebagai $S^1 \times S^1$ duduk di $\mathbb{R}^4$. Ada beberapa cara yang setara (baca: homeomorfik) untuk melihat torus, salah satunya adalah gambar 'donat' yang sudah dikenal. Dua yang lainnya akan menjadi sebagai$S^1 \times S^1$ duduk di $\mathbb{R}^4$, atau sebagai hasil bagi dari persegi, seperti yang Anda tunjukkan.
Intinya adalah bahwa bagi seorang ahli matematika, torus adalah objek tersendiri . Apakah ada ruang Euclidean ambien tempat Anda dapat menyematkannya, dalam arti tertentu tidak relevan. Itu hanya satu set poin bersama dengan kumpulan 'subset terbuka' yang menentukan bentuknya.
Untuk menjawab pertanyaan Anda: diberi ruang topologi (misalnya, spasi $X$yang merupakan hasil bagi dari persegi dengan mengidentifikasi sisi berlawanan yang membawa topologi hasil bagi), kita dapat mencoba memvisualisasikannya dengan menyematkannya ke dalam ruang Euclidean. Sebuah embedding dari ruang topologi$X$ ke ruang Euclidean $\mathbb{R}^n$ hanyalah peta $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ seperti yang $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ adalah homeomorfisme.
Jadi, ternyata itu $X$ dapat disematkan ke $\mathbb{R}^3$, tetapi juga dalam $\mathbb{R}^4$. Pikirkan ini sebagai 'realisasi'$X$di beberapa ruang ambien yang lebih besar. Kedua realisasi ini bersifat homeomorfik$X$(ya, menurut definisi embedding), jadi keduanya juga bersifat homeomorfik satu sama lain. Dengan demikian, tidak ada informasi yang hilang.
Tidaklah tepat untuk menganggap gambar 'donat' torus sebagai versi proyeksi realisasi di $\mathbb{R}^4$. Tidak ada proyeksi yang terjadi (seperti saat Anda memproyeksikan silinder vertikal dalam 3D ke irisan lingkaran di bidang horizontal). Donat tersebut bukanlah potongan 3D dari bentuk 4D, bentuknya sama .
Anda benar untuk mengatakan bahwa dimensi torus adalah $2$. Dimensi ini juga tidak tergantung pada ruang ambien. Oleh karena itu, homeomorfisme mempertahankan dimensi ini, dan tidak peduli dengan dimensi ekstrinsik. Ada sedikit peringatan di sini: cukup sulit untuk mendefinisikan apa arti 'dimensi' untuk ruang topologi, jadi membuktikan klaim bahwa torus memiliki dimensi 2 itu sulit.